Subiectul I
1. Sa se calculez suma $latex 2+12+22+…+92$
2. Sa se arate ca varful parabolei $latex f:R\rightarrow R,f\left(x\right)=x^{2}-2x-3$ se afla pe dreapta de ecuatie $latex 3x+y+1=0$
3. Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia $latex \log_{4}\left(2^{x+1}-1\right)=0$
4. Sa se determine cate numere de trei cifre se pot scrie folosind elementele din multimea $latex \left\{1,2\right\}$.
5. Se considera hexagonul regulat ABCDEF de centru O. Sa se arate ca $latex \vec{AB}+\vec{AF}=\vec{AO}$
6. Sa se calculeze $latex \lg{\left(\tan 40^{0}\right)}\cdot\lg{\left(\tan 41^{0}\right)}\cdot …\cdot\lg{\left(\tan 45^{0}\right)}$
Solutie:
1. Ca sa calculam suma de la exercitiu 1, observam ca termenii sumei
2, 12, 22, …, 92 sunt in progresie aritmetica cu ratia $latex r=12-2=10$ deci r=10, $latex a_{1}=2, a_{n}=92$
Ca sa calculam suma mai intai trebuie sa aflam cati termeni are suma, adica sa aflam n.
Astfel stim ca
$latex a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 92=2+\left(n-1\right)\cdot 10\Rightarrow 92-2=\left(n-1\right)\cdot 10\Rightarrow 90=\left(n-1\right)\cdot 10\Rightarrow 90:10=n-1\Rightarrow n-1=9\Rightarrow n=9+1\Rightarrow n=10$
Mai stim si ca
$latex S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}=\frac{\left(2+92\right)\cdot 10}{2}=\frac{94\cdot 10}{2}=\frac{940}{2}=470$
2. Mai inati aflam varful parabolei functiei:
Dar mai intai calculam
$latex \Delta=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-3\right)=4+12=16$
Iar varful parabolei este:
$latex V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)=V\left(-\frac{-2}{2\cdot 1},-\frac{16}{4\cdot 1}\right)=V\left(\frac{2}{2},\frac{-16}{4}\right)=V\left(1,-4\right)$
Acum trebuie sa aratam ca varful parabolie se afla pe dreapta d, astfel avem:
$latex V\in \left(d\right):3x+y+1=0$ daca $latex 3\cdot 1-4+1=0\Rightarrow 3-4+1=0\Rightarrow 4-4=0\Rightarrow 0=0$
deci varful parabolei se afla pe dreapta d.
3. Ecuatia are sens daca
$latex 2^{x+1}-1>0\Rightarrow 2^{x+1}>1\Leftrightarrow2^{x+1}>2^{0}\Leftrightarrow x+1>0\Leftrightarrow x>-1$
Deci gasim ca $latex x\in \left(-1,+\infty\right)$
Acum rezolvam ecuatia:
$latex \log_{4}\left(2^{x+1}-1\right)=0\Leftrightarrow 2^{x+1}-1=4^{0}\Leftrightarrow 2^{x+1}=1+1\Leftrightarrow 2^{x+1}=2\Leftrightarrow 2^{x+1}=2^{1}\Leftrightarrow x+1=1\Leftrightarrow x=1-1\Leftrightarrow x=0$
4. Fie $latex \bar{abc}$ numerele care pot si scrise cu elementele din multimea $latex \left\{1,2\right\}$. Astfel numarul functiilor $latex f:\left\{a,b,c\right\}\rightarrow {1, 2}$ este $latex 2^{3}=8$
Observatie stim ca
Numarul functiilor definitie pe o multime finita cu valori intr-o multime finita.
Fie A si B doua multimi finite astfe |A|=m si |B|=n. Atunci numarul functiilor de la multimea A la multimea B este $latex n^{m}$.
5.
Astfel cu regului triunghiului stim ca in triunghiul AFO:
$latex \vec{AO}=\vec{AF}+\vec{FO}$
Dar sin in triunghiul AOB, avem ca
$latex \vec{AO}=\vec{AB}+\vec{BO}$
adunand cele doua relatii obtinem ca
$latex \vec{AO}+\vec{AO}=\vec{AF}+\vec{FO}+\vec{AB}+\vec{BO}\Leftrightarrow 2\vec{AO}=2\vec{AF}+2\vec{AB}\Leftrightarrow \vec{AO}=\vec{AF}+\vec{AB}$
Deoarece observam ca:
$latex \vec{AF}=\vec{BO}$ dar si $latex \vec{AB}=\vec{FO}$
6. Stim ca $latex \tan 45^{0}=1$
Astfel gasim ca $latex \lg 1=0$
astfel avem ca:

$latex \lg{\left(tan 40^{0}\right)}\cdot\lg{\left(\tan 41^{0}\right)}\cdot …\cdot\lg{\left(\tan 45^{0}\right)}=\lg{\left(tan 40^{0}\right)}\cdot\lg{\left(\tan 41^{0}\right)}\cdot …\cdot 0=0$