Functii derivabile

Definitia derivatei unei functii intr-un punct :fie $f:D\rightarrow R, D\subset R$ si $x_{0}\in D$ un punct de acumulare al multimii D.

Definitie functii derivabile:

Se spune ca functia f are derivata in punctul $x_{0}\in D$ daca exista limita $\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ in $\bar{R}$

Limita de mai sus se numeste derivata functiei in punctul $x_{0}$ si se noteaza

$f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$

Mai spune si ca functia f este este derivabila in punctul $x_{0}\in D$ , daca limita

$f^{'}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$

exista si este finita.

Definitii

Fie $f:D\rightarrow R, A\subset D$

Functia f este derivabila pe multimea A, daca este derivabila in fiecare punct al multimii.

Multimea $D_{f^{'}}=\left\{x\in D|\exists f^{'}\left(x\right)\;\; si\;\;\; f^{'}\left(x\right)\in R\right\}$ se numeste domeniul de derivabilitate a functiei f.

Derivate laterale

Derivata la stanga

Fie functia $f:D\rightarrow R$ si $x_{0}\in D$ astfel incat $D\cap\left(-\infty,x_{0}\right)\neq\Phi$

Definitii !

Functia f are derivata la stanga in punctul $x_{0}$ , daca limita $\lim\limits_{x\to x_{0}\\x<x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ exista in $\bar{R}$

Aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei f in punctul $x_{0}$ si se noteaza $f^{'}_{s}\left(x\right)$

Functia f are derivabila la stanga in punctul $x_{0}$ , daca derivata la stanga in $x_{0}$ exista si este finita.

Derivata la dreapta

Fie functia $f:D\rightarrow R$ si $x_{0}\in D$ astfel incat $D\cap\left(x_{0},+\infty\right)\neq \Phi$

Definitii !

Functia f are derivata la dreapta in punctul $x_{0}$ , daca limita $\lim\limits_{x\to x_{0}\\x>x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ exista in $\bar{R}$

Aceasta limita se numeste derivata la dreata a functiei f in punctul $x_{0}$ si se noteaza $f^{'}_{d}\left(x\right)$

Functia f este derivabila la dreata in punctul $x_{0}$ , daca derivata la dreapta in $x_{0}$ exista si este finita.

Teorema !

Fie functia $f:D\rightarrow R$ si $x_{0}\in D$

a) Functia f are derivata in $x_{0}$ daca si numai daca f are derivatele laterale in $x_{0}$ si $f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)$

b) Functia f este derivabila in $x_{0}$ daca si numai daca este derivabila la stanga si la dreapta in
$x_{0}$ si $f^{'}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{'}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)$

Derivabilitate si continuitate

Teorema (continuitatea functiilor derivabile)

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Observatie !

Reciproca teoremei de mai sus nu este in general adevarata. Adica, o functie este continua intr-un punct fara a fi derivabila in acel punct.

Exemplu:

Functia modul $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=|x|$ este continua in $x_{0}$ fara a fi derivabila in in acest punct.

Astfel $\lim\limits_{x\to 0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0}{|x|}=|0|=0=f\left(0\right)$ , deci functia este continua.

Pentru derivabilitate studiem existenta si valoare limitei raportului

$R\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\frac{|x|}{x}$ in $x_{0}$

Astfel avem $\lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{\left(-1\right)}=-1$

$\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{1}=1$

Astfel nu exista $\lim\limits_{x\to 0}{R\left(x\right)}$ , deci functia modul nu este derivabila in punctul $x_{0}$

Deci e foarte important sa cunoastem notiunea de derivata, dar si notiunea de derivata unei functii intr-un punct, cat si notiunea de derivabilitate si continuitate.

Recente

Categorii