Functii derivabile

Definitia derivatei unei functii intr-un punct :fie $latex f:D\rightarrow R, D\subset R$ si $latex x_{0}\in D$ un punct de acumulare al multimii D.

Definitie functii derivabile:

Se spune ca functia f are derivata in punctul $latex x_{0}\in D$ daca exista limita  $latex \lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ in $latex \bar{R}$

Limita de mai sus se numeste derivata functiei in punctul $latex x_{0}$ si se noteaza

$latex f^{‘}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$

Mai spune si ca functia f este este derivabila in punctul $latex x_{0}\in D$, daca limita

$latex f^{‘}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$

exista si este  finita.

Definitii

Fie $latex f:D\rightarrow R, A\subset D$

Functia f este derivabila pe multimea A, daca este derivabila  in fiecare punct al multimii.

Multimea $latex D_{f^{‘}}=\left\{x\in D|\exists f^{‘}\left(x\right)\;\; si\;\;\; f^{‘}\left(x\right)\in R\right\}$ se numeste domeniul de derivabilitate  a  functiei f.

Derivate laterale

Derivata la stanga

Fie functia $latex f:D\rightarrow R$ si $latex x_{0}\in D$ astfel incat $latex D\cap\left(-\infty,x_{0}\right)\neq\Phi$

Definitii !

Functia f are derivata la stanga in punctul $latex x_{0}$, daca limita $latex \lim\limits_{x\to x_{0}\\x<x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ exista in $latex \bar{R}$

Aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei f in punctul $latex x_{0}$ si se noteaza $latex f^{‘}_{s}\left(x\right)$

Functia f are derivabila la stanga in punctul $latex x_{0}$, daca derivata la stanga in $latex x_{0}$ exista si este finita.

Derivata la dreapta

Fie functia $latex f:D\rightarrow R$ si $latex x_{0}\in D$ astfel incat $latex D\cap\left(x_{0},+\infty\right)\neq \Phi$

Definitii !

Functia f are derivata la dreapta  in punctul $latex x_{0}$, daca limita $latex \lim\limits_{x\to x_{0}\\x>x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ exista in $latex \bar{R}$

Aceasta limita se numeste derivata la dreata a functiei f in punctul $latex x_{0}$ si se noteaza $latex f^{‘}_{d}\left(x\right)$

Functia f este  derivabila  la dreata  in punctul $latex x_{0}$, daca derivata la dreapta  in $latex x_{0}$ exista si este finita.

Teorema !

Fie functia $latex f:D\rightarrow R$ si $latex x_{0}\in D$

a)  Functia f are derivata in $latex x_{0}$ daca si numai daca f are derivatele laterale in $latex x_{0}$ si $latex f^{‘}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{‘}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{‘}\left(x_{0}\right)$

b) Functia f este derivabila in $latex x_{0}$ daca si numai daca este derivabila la stanga si la dreapta   in
$latex x_{0}$ si $latex f^{‘}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{‘}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{‘}\left(x_{0}\right)$

Derivabilitate si continuitate

Teorema (continuitatea functiilor derivabile)

Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Observatie !

Reciproca teoremei de mai sus nu este in general adevarata. Adica, o functie este continua intr-un punct fara a fi derivabila in acel punct.

Exemplu:

Functia modul $latex f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=|x|$ este continua in $latex x_{0}$ fara a fi derivabila in  in acest punct.

Astfel $latex \lim\limits_{x\to 0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0}{|x|}=|0|=0=f\left(0\right)$, deci functia este continua.

Pentru derivabilitate studiem existenta si valoare limitei raportului

$latex R\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\frac{|x|}{x}$ in $latex x_{0}$

Astfel avem $latex \lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{\left(-1\right)}=-1$

$latex \lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{1}=1$

Astfel nu exista $latex \lim\limits_{x\to 0}{R\left(x\right)}$, deci functia modul nu este derivabila in punctul $latex x_{0}$

Deci e foarte important sa cunoastem notiunea de derivata, dar si notiunea de derivata unei functii intr-un punct, cat si notiunea de derivabilitate si continuitate.

Categories: , ,