Definitia derivatei unei functii intr-un punct :fie $latex f:D\rightarrow R, D\subset R$ si $latex x_{0}\in D$ un punct de acumulare al multimii D.
Definitie functii derivabile:
Se spune ca functia f are derivata in punctul $latex x_{0}\in D$ daca exista limita $latex \lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ in $latex \bar{R}$
Limita de mai sus se numeste derivata functiei in punctul $latex x_{0}$ si se noteaza
$latex f^{‘}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$
Mai spune si ca functia f este este derivabila in punctul $latex x_{0}\in D$, daca limita
$latex f^{‘}\left(x\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$
exista si este finita.
Definitii
Fie $latex f:D\rightarrow R, A\subset D$
Functia f este derivabila pe multimea A, daca este derivabila in fiecare punct al multimii.
Multimea $latex D_{f^{‘}}=\left\{x\in D|\exists f^{‘}\left(x\right)\;\; si\;\;\; f^{‘}\left(x\right)\in R\right\}$ se numeste domeniul de derivabilitate a functiei f.
Derivate laterale
Derivata la stanga
Fie functia $latex f:D\rightarrow R$ si $latex x_{0}\in D$ astfel incat $latex D\cap\left(-\infty,x_{0}\right)\neq\Phi$
Definitii !
Functia f are derivata la stanga in punctul $latex x_{0}$, daca limita $latex \lim\limits_{x\to x_{0}\\x<x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ exista in $latex \bar{R}$
Aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei f in punctul $latex x_{0}$ si se noteaza $latex f^{‘}_{s}\left(x\right)$
Functia f are derivabila la stanga in punctul $latex x_{0}$, daca derivata la stanga in $latex x_{0}$ exista si este finita.
Derivata la dreapta
Fie functia $latex f:D\rightarrow R$ si $latex x_{0}\in D$ astfel incat $latex D\cap\left(x_{0},+\infty\right)\neq \Phi$
Definitii !
Functia f are derivata la dreapta in punctul $latex x_{0}$, daca limita $latex \lim\limits_{x\to x_{0}\\x>x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ exista in $latex \bar{R}$
Aceasta limita se numeste derivata la dreata a functiei f in punctul $latex x_{0}$ si se noteaza $latex f^{‘}_{d}\left(x\right)$
Functia f este derivabila la dreata in punctul $latex x_{0}$, daca derivata la dreapta in $latex x_{0}$ exista si este finita.
Teorema !
Fie functia $latex f:D\rightarrow R$ si $latex x_{0}\in D$
a) Functia f are derivata in $latex x_{0}$ daca si numai daca f are derivatele laterale in $latex x_{0}$ si $latex f^{‘}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{‘}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{‘}\left(x_{0}\right)$
b) Functia f este derivabila in $latex x_{0}$ daca si numai daca este derivabila la stanga si la dreapta in
$latex x_{0}$ si $latex f^{‘}_{s}\left(x_{0}\right)=f^{‘}_{d}\left(x_{0}\right)=f^{‘}\left(x_{0}\right)$
Derivabilitate si continuitate
Teorema (continuitatea functiilor derivabile)
Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.
Observatie !
Reciproca teoremei de mai sus nu este in general adevarata. Adica, o functie este continua intr-un punct fara a fi derivabila in acel punct.
Exemplu:
Functia modul $latex f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=|x|$ este continua in $latex x_{0}$ fara a fi derivabila in in acest punct.
Astfel $latex \lim\limits_{x\to 0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0}{|x|}=|0|=0=f\left(0\right)$, deci functia este continua.
Pentru derivabilitate studiem existenta si valoare limitei raportului
$latex R\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\frac{|x|}{x}$ in $latex x_{0}$
Astfel avem $latex \lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x<0}{\left(-1\right)}=-1$
$latex \lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{R\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0\;\; x>0}{1}=1$
Astfel nu exista $latex \lim\limits_{x\to 0}{R\left(x\right)}$, deci functia modul nu este derivabila in punctul $latex x_{0}$
Deci e foarte important sa cunoastem notiunea de derivata, dar si notiunea de derivata unei functii intr-un punct, cat si notiunea de derivabilitate si continuitate.