Functii pare si functii impare Functii fara paritate Functii periodice

Dupa ce am invatat in clasa a VIII-a cum sa reprezentam graficul unei functii, acum o sa invatam sa calculam paritatea functiilor dar si periodicitatea functiilor.
Deci astazi o sa discutam despre :

Functii pare si functii impare

Functii fara paritate si Functii periodice

Incepem cu functiile pare

O multime $A\subset R$ se numeste simetrica fata de originea axei reale daca oricare ari fi $x\in A$ , atunci $-x\in A$ .
Exemplu:
Multimile $\left(-2,2\right)$ si $\left(-2, 1\right]\cup\left[1,2\right)$ suntt simetrice fata de origine.
Fie $A\subset R$ o multime simetrica fata de origine si o functie $f: A\rightarrow R$
-Functia f se numeste functie para daca $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ pentru orice $x\in A$
-Functia f se numeste functie impara daca $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ , pentru orice $x\in A$ .
Observatie
– Daca o functie $f:A\rightarrow R$ este para, atunci axa OY este axa de simetrie pentru graficul lui f.
– Daca o functie $f:A\rightarrow R$ este impara, atunci originea O a sistemului de coordonate este centru de simetrie pentru graficul lui f.

Functii periodice

O functie $f:D\rightarrow R, D\subset R$ se numeste periodica, daca exista $T\neq 0$ , astfel incat $x+T\in D$ si $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$ oricare ar fi $x\in D$ .

Observatie
Cea mai mica perioada pozitiva (daca acesta exista se numeste )perioada principala.
Exercitii
1) Studiati care din urmatoarele functii sunt pare, care sunt impare si care sunt fara paritate
a) $f:R\rightarrow R^{*}, f\left(x\right)=\frac{1}{x}$
Ca sa stidiem paritatea functiilor calculam
$f\left(-x\right)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f\left(x\right)$ , deci functia f este impara.
b) $f:R-\left\{\pm 3\right\}\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-9}$ .
Pentru a afla paritatea functiei calculam
$f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^{2}+1}{\left(-x\right)^{2}-3}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-9}=f\left(x\right)$
Astfel obtinem $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ si astfel functia f este para.
c) $f:R-\left\{\pm 1\right\}\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x}{x^{4}-1}$
Calculam
$f\left(-x\right)=\frac{-x}{\left(-x\right)^{4}-1}=\frac{-x}{x^{4}-1}=-f\left(x\right)$ , deci impara.
d) $f:R^{*}\rightarrow R,f\left(x\right)=\frac{x+2}{x}$
Calculam
$f\left(-x\right)=\frac{-x+2}{-x}=\frac{-x}{-x}+\frac{2}{-x}=\frac{1}{1}+\frac{-2}{x}=\frac{x-2}{x}$ , deci functia f nu este nici para nici impara.
2) Consideram functia $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)= \\1,\;\;\; daca\;\; x\in Q \\-1\;\;\; daca\;\; x\in R-Q$
si numerele $a=\sqrt{5++2\sqrt{6}}$ si $b=\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ . Calculati:
a) $f\left(a+b\right)$
b) $f\left(ab\right)$
Calculam a si b ca sa vedem daca sunt rationale sau irationale
$a=\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$b=\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
a) $f\left(a+b\right)=f\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=f\left(2\sqrt{3}\right)=-1$ , deoarece x\in R-Q.
b) $f\left(a\cdot b\right)=f\left(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\cdot\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right)= f\left(\sqrt{3}^{2}-\sqrt{2}^{2}\right)=f\left(3-2\right)=f\left(1\right)=1$ , deoarece $1\in Q$ .