Dupa cum bine stiti  inca din generala am invatat cum sa gasim solutia unei inecuatii, dar astazi o sa invatam sa gasim solutia la inecuatia de forma ax+b<0 studiate pe R sau pe intervale de numere.

Astfel mai intai definim notiunea de inecuatie:

Definitie: O inegalitate de forma ax+b\leq 0 \left(\geq, <,>\right), unde a, b\in R si a\neq 0 se numeste inecuatia de gradul I cu o necunoscuta pe o anumita multime.

Exemplu:

1) Sa se rezolve inecuatiile in R:

a) 5-15x\geq 0

b) |3x-2|\leq-2

Solutie:

5-15x\geq 0|-5\Rightarrow -15x\geq -5|\cdot\left(-1\right)\Rightarrow 15x\leq 5|:5\Rightarrow x\leq\frac{1}{3}\Rightarrow x\in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right].

Ca sa rezolvam inecuatia de mai sus am scazut 5 atat din membrul stang cat si la membrul drept, apoi am inmultit cu -1 fiecare membru al inecuatiei, schimband atat semnul cat si sensul inegalitatii si impartim fiecare membru prin 5 si astfel am obtinut solutia inecuatiei.

Sau altfel rezolvam inecuatia:

Consideram functia:

f\left(x\right)=5-15x

Acum studiem semnul functiei:

Astfel avem:

f\left(x\right)=0\Rightarrow 5-15x=0\Rightarrow 15x=5|\Rightarrow x=\frac{1}{3}

Acum tabelul de semn este:

semnul functiei de gradul I
Astfel pe intervalul \left(-\infty, \frac{1}{3}\right) functia f\left(x\right) are semnul -, deci solutia inecuatiei este x\in\left(-\infty,\frac{1}{3}\right].
b) |3x-2|\leq-2

Ca sa rezolvam inecuatia de mai sus consideram functia f:R\rightarrow R:

f\left(x\right)=3x-2 si scriem tabelul functiei:

Astfel

f\left(x\right)=0\Rightarrow 3x-2=0\Rightarrow 3x=2\Rightarrow x=\frac{2}{3}

cum stabilim semnul unei functii
Astfel cautam solutiile inecuatiei pe intervalul
\left(-\infty\frac{2}{3}\right] si \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)
Daca x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right] inecuatia se scrie:
-\left(3x-2\right)\leq -2\Rightarrow -3x+2\leq -2\Rightarrow -3x\leq-4|\cdot \left(-1\right)\Rightarrow 3x\geq 4\Rightarrow x\geq\frac{4}{3} si astfel gasim solutia
x\in \left[\frac{4}{3}, +\infty\right)
Stim ca x\in\left(-\infty, \frac{2}{3}\right], rezulta ca
x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right]\cap \left[\frac{4}{3}, +\infty\right)=\left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right] obtinem
x\in\left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right]
Daca x\in\left(\frac{2}{3}, +\infty\right) inecuatia se scrie:
3x-2\leq-2\Rightarrow 3x\leq 0\Rightarrow x\leq 0\Rightarrow x\in\left(-\infty, 0\right]
Stim ca x\in\left[\frac{2}{3},+\infty\right), rezulta ca
x\in\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\cap \left(-\infty, 0\right)=\left[0,\frac{2}{3}\right] obtinem
x\in\left[0, \frac{2}{3}\right].
Si astfel solutia inecuatiei initiale este:
x\in\left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right]\cup\left[0, \frac{2}{3}\right]=\left[0,\frac{4}{3}\right]
c) \frac{2}{x-1}+\frac{5x-3}{x-1}\geq 1\rightarrow \frac{2+5x-3}{x-1}\geq 1\Rightarrow \frac{5x-1}{x-1}-1\geq 0\Rightarrow \frac{5x-1-1\left(x-1\right)}{x-1}\geq 0\Rightarrow \frac{5x-1-x+1}{x-1}\geq 0\Rightarrow \frac{4x}{x-1}\geq 0
Acum studiem semnul functiilor de gradul I f, g:R\rightarrow R, f\left(x\right)=4x, g\left(x\right)=x-1
asociate numaratorului respectiv numitorului functiei. Astfel studiul il facem pe un tabel comun de semn celor doua functii:
Astfel avem
f\left(x\right)=0\Rightarrow 4x=0\Rightarrow 4x=0\Rightarrow x=0
Iar pentru functia g\left(x\right)=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1

semnul unei functii
Astfel solutia inecuatiei este:
x\in\left(-\infty, 0\right]\cup\left(1,+\infty\right)
Semnul | din tabelul de mai sus semnnifica ca expresia data nu este definita pentru x=1