Ne place matematica !

Inmultirea Impartirea Ridicarea la putere a rapoartelor

Produsul a doua rapoare algebrice, catul a doua rapoarte algebrice, putera a n-a a unui raport algebric sunt tot rapoarte algebrice.

Astfel daca avem sa efectuam produsul a doua rapoarte algebrice obtinem un raport algebric care are la numarator produsul numaratorilor rapoartelor date, iar la numitor produsul numitorilor rapoartelor date.

Exemplu:

-\frac{6a^{3}b^{4}}{66c}\cdot\frac{11c^{2}}{2a^{2}b^{3}}=-\frac{66a^{3}b^{4}c^{2}}{132a^{2}b^{3}c}=\frac{abc}{2}

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am inmultit numaratorul cu numaratorul si numitorul cu numitorul, rezultatul obtinut l-am simplificat prin 66a^{2}b^{3}c

Inversul unui raport algebric este raportul algebric care are ca numarator numitorul raportului dat si ca numitor numaratorul raportului dat.

Exemplu:

\left(\frac{2xy}{19ab}\right)^{-1}=\left(\frac{19ab}{2xy}\right).

Adica am inversat numaratorul cu numitorul si invers la fel cum se facea la inversul unui numar rational.

Exercitiu:

1) Efectuati:

a) \frac{x^{2}-6x+9}{4x^{2}-25}\cdot\frac{2x+5}{4\left(x-3\right)}:\frac{7x-21}{4x^{2}-20x+25}=    \frac{\left(x-3\right)^{2}}{\left(2x-5\right)\cdot\left(2x+5\right)}\cdot\frac{2x+5}{4\left(x-3\right)}:\frac{7\left(x-3\right)}{\left(2x-5\right)^{2}}=\frac{x-3}{2x-5}\cdot\frac{1}{4}:\frac{7\left(x-3\right)}{\left(2x-5\right)^{2}}=\frac{x-3}{4\left(2x-5\right)}\cdot\frac{\left(2x-5\right)^{2}}{7\left(x-3\right)}=\frac{2x-5}{7\cdot4}=\frac{2x-5}{28}

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus in unele cazuri am restrans patratele cu ajutorul formulelor de calcul prescutat, astfel pentru x^{2}-6x+9 obtinem \left(x-3\right)^{2} folosind formula de calcul prescurtat \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, iar pentru 4x^{2}-25 am folosit formula a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right) de unde am obtinut \left(2x-5\right)\cdot \left(2x+5\right). Am efectuat prima data inmultirea celor doua rapoarte, dar mai intai am simplificat pentru a ne simplifica calculele, iar rezultatul obtinut l-am impartit la  ultimul raport. Impartirea a doua rapoarte dupa cum stim de la impartirea numerelor rationale este egala cu produsul  dintre primul raport si inversul celui de-al doilea, adica \frac{x-3}{4\left(2x-5\right)}:\frac{7\left(x-3\right)}{\left(2x-5\right)^{2}}=\frac{x-3}{4\left(2x-5\right)}\cdot\frac{\left(2x-5\right)^{2}}{7\left(x-3\right)}, iar apoi am simplificat si am realizat inmultirile care au mai fost de efectuat.

b) \frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}+3x-10}:\frac{x^{2}+7x+12}{x^{2}-9x+14}=\frac{x^{2}+3x-x-3}{x^{2}+5x-2x-10}:\frac{x^{2}+4x+3x+12}{x^{2}-2x-7x+14}=

\frac{x\left(x+3\right)-\left(x+3\right)}{x\left(x+5\right)-2\left(x+5\right)}:\frac{x\left(x+4\right)+3\left(x+4\right)}{x\left(x-2\right)-7\left(x+2\right)}=

\frac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}:\frac{\left(x+4\right)\left(x+3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-7\right)}=\frac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}\cdot\frac{\left(x-2\right)\left(x-7\right)}{\left(x+4\right)\left(x+3\right)}=\frac{x-1}{x+5}\cdot\frac{x-7}{x+4}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-7\right)}{\left(x+5\right)\left(x+7\right)}

Ca sa rezolvam raportul de mai sus, adica sa-l aducem la o forma cat mai simpla, am scris fiecare termen al lui x astfel incat sa putem sa dam factor comun si sa ne ajute.Adica la primul raport calculul algebric l-am  scris astfel:x^{2}+2x-3=x^{2}+3x-x-3=x\left(x+3\right)-\left(x+3\right)=\left(x+3\right)\left(x+1\right) si astfel ne ajuta sa simplificam raportul sau produsul de rapoarte, asemantor am facut si la restul rapoartelor, apoi stim ca  impartirea a  doua rapoarte este egal cu produsul dintre primul raport si inversul celui de-al doilea, iar apoi am simplificat si am obtinut rezultatul de mai sus.