Ne place matematica !

Integrale definite

Dupa cum bine stiti rezolvarea integralelor joaca un rol importat pentru examenul de Bacalaureat si din acest motiv propunem sa ne reamintim si sa si invatam metode de rezolvare integrale definite.

Stiti ca integralele definite putem sa le rezolvam cu ajutorul urmatoarelor metode:
-metoda directa (cu tabloul si proprietatile integrale nedefinite)
metoda de integrare prin parti
metoda de schimbare a variabilelor

Dar daca si integralele sunt definite folosim si formula lui Leibniz-Newton.
Incepem prin a rezolva cateva exercitii si in acel moment spunem ce metoda am folosit astfel:

1) Folosind formula lui Leibniz-Newton, sa se calculeze:
a)\int_{1}{2}\left(x^{2}-3x+2\right)dx

Observam ca integrala de mai sus putem sa o calculam cu metoda directa, adica cu una din formulele din tablou \int x^{n}=\frac{x^{n+1}}{n+1}
Astfel obtinem:

\int^{2}_{1}\left(x^{2}-3x+2\right)dx=\left(\int^{2}_{1} x^{2}-\int^{2}_{1} 3x+\int^{2}_{1} 2=\frac{x^{2+1}}{2+1}-3\frac{x^{1+1}}{1+1}+2x\right)^{2}_{1}=\left(\frac{x^{3}}{3}-3\frac{x^{2}}{2}+2x\right)^{2}_{1}=\frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}-3\left(\frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}\right)+2\cdot2-2\cdot 1=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}-3\cdot\frac{4}{2}+3\cdot\frac{1}{2}+4-2=\frac{8-1}{3}-\frac{12}{2}+\frac{3}{2}+2=\frac{7}{3}-\frac{6}{1}+\frac{3}{2}+2=\frac{7}{3}+\frac{3}{2}-4=\frac{2\cdot 7+3\cdot 3-6\cdot 4}{6}=\frac{14+9-24}{6}=\frac{-1}{6}=-\frac{1}{6}.

Dupa ce am calculat integrala cu metoda directa am aplicat formula lui Leibniz-Newton adica:

Teorema: Fie f:\left[a,b\right]\rightarrow R continua si F:\left[a,b\right]\rightarrow R este o primitiva a lui f atunci:

\int^{b}_{a}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) (formula lui Leibniz- Newton).

Deci ca sa aplicam formula lui Leibniz-Newton mai intai am gasit o primitiva  a functiei de mai sus, iar dupa ce am gasit-o am aplicat formula.

b) \int^{2}_{1}\sqrt[3]{x}dx

Determinam o primitiva a functiei f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}. Avem

\int \sqrt[3]{x}=\int x^{\frac{1}{3}}=\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{x^{\frac{1+3}{3}}}{\frac{1+3}{3}}=\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C, deci o primitiva este:

F\left(x\right)=\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}

Deci \int\sqrt[3]{x}dx=\left(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}\right)^{2}_{1}

=\frac{2^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}-\frac{1^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}=

\frac{\sqrt[3]{2^{4}}}{\frac{4}{3}} -\frac{\sqrt[3]{1^{4}}}{\frac{4}{3}}=    \sqrt[3]{2^{4}}\cdot\frac{3}{4}-\sqrt[3]{1^{4}}\cdot\frac{3}{4}=    2\sqrt[3]{2}\cdot\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{6\sqrt[3]{2}-3}{4}

Ca sa rezolvam integrala de mai sus am scris functia radical sub forma de functie exponentiala, iar apoi am aplicat metoda directa (cu tabloul si proprietatile nedefinite) si astfel am gasit o primitiva iar apoi am aplicat formula Leibniz- Newton.Iar restul este calcul algebric (aducerea la acelasi numitor, transformarea functei exponentiale in functia radical).

c)\int^{1}_{0}\left(x+2\right)\cdot e^{x}=
Determinam o primitiva a functiei
f\left(x\right)=\left(x+2\right)\cdot e^{x}. Avem:
\int\left(x+2\right)\cdot e^{x}dx=\int x\cdot e^{x}+\int 2\cdot e^{x}=\int x\cdot\left(e^{x}\right)^{'}+\int2\cdot e^{x}=x\cdot e^{x}-\int e^{x}\cdot x^{'}+2\int e^{x}=x\cdot e^{x}-\int e^{x}+2\int e^{x}=x\cdot e^{x}+\int e^{x}=x\cdot e^{x}+e^{x}.
Deci \int^{1}_{0}\left(x+2\right)\cdot e^{x}=\left(\left(x+1\right)\cdot e^{x}\right)^{1}_{0}=\left(1+1\right)\cdot e^{1}-\left(0+1\right)\cdot e^{0}=2\cdot e-1\cdot 1=2\cdot e-1=2e-1

Ca sa rezolvam integrala de mai sus am gasit prima data o primitiva a acestei functii astfel prima data am folosit distributivitatea inmultirii fata de adunare si astfel am obtinut doua integrale pe care le-am rezolvat . Prima cu ajutorul metodei integrarii prin parti iar cea de-a doua integrala cu ajutorul metodei directe si apoi am aplicat formula Leibniz-Newton.
Metoda integrarii prin parti:

Teorema: Presupunem ca functiile f,g:\left[a,b\right]\rightarrow R sunt derivabile cu derivatele f'g':\left[a,b\right]\rightarrow continue atunci:

\int^{b}_{a}f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)dx=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-\int^{b}_{a}f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)dx