Lucrare scrisa la matematica pe semestrul al doilea

Nume:

Prenume:

Subiectul I

1. Stiind ca $latex x_{1}$ si $latex x_{2}$ sunt solutiile ecuatiei:$latex x^{2}-2014x+1=0$, sa se calculeze:

$latex \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$
2. Sa se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC stiind ca BC=6 cm $latex AC=3\sqrt{2}, m\left(\widehat{C}\right)=45^{0}$
3. Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei:
$latex \log_{2}\left(x^{2}-x-2\right)=2$
4. Sa se determine primul termen al unei progresii geometrice stiind ca raportul dintre primul termen si al patrulea este $latex \frac{1}{8}$ si ca $latex b_{2}=3$
5. Sa se calculeze probabilitatea ca alegand un numar natural de doua cifre acesta sa fie cub perfect.
6. Se considera functia $latex f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-2x+2$. Sa se arate ca varful parabolei asociat functiei are coordonatele egale.
Subiectul II
1. Se considera polinomul $latex f=X^{4}+aX^{3}+bx+c$ cu $latex a,b,c\in R$
a) Sa se determine numarul real c stiind ca $latex f\left(1\right)+f\left(-1\right)=2014$
b) Sa se determine numerele reale $latex a,b,c$ stiind ca $latex f\left(0\right)=f\left(1\right)=-2$ si ca una dintre radacinile polinomului este x=2
c) Pentru $latex a=-2,b=1, c=-2$ sa se determine radacinile reale ale polinomului f.
Subiectul III
1.Se considera functia: $latex f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\cos x-1+\frac{x^{2}}{2}$
a) Sa se calculeze $latex \lim\limits_{x\to 0}{\frac{f\left(x\right)}{x^{4}}}$
b) Sa se determine $latex f^{‘}$ si $latex f^{”}$
c) Sa se demonstreze ca pentru orice $latex x\in R$
2. Se considera functiile:$latex f,F:R\rightarrow R, f\left(x\right)=e^{x}+x^{2}+2x$ si $latex F\left(x\right)=e^{x}+\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+1$
a) Sa se arate ca functia F este o primitiva a functiei f.
b) Sa se calculeze $latex \int^{1}_{0}f\left(x\right)dx$
c) Sa se calculeze aria suprafetei plane marginite de graficul functiei $latex h:\left[0,1\right]\rightarrow R, h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-x^{2}-2x}{e^{x}+1}$, axa Ox si dreptele de ecuatii x=0 si x=1