Media geometrica a doua numere reale nenegative

Dupa cum bine stiti pana acum am discutat despre media aritmetica a doua sau mai multe numere naturale, media aritmetica a doua sau mai multe numere rationale, media aritmetica a doua sau mai multe numere intregi, dar si media aritmetica ponderata, astazi o sa discutam despre Media geometrica  a doua numere reale nenegative. Incepem prin a defini media geometrica:

Definitie: Media geometrica sau media proportionala a doua numere nenegative este egala cu radacina patrata din produsul lor: daca

a\geq 0, b\geq 0. atunci m_{g}=\sqrt{a\cdot b}. Daca 0\leq a\leq b atunci a\leq m_{g}\leq b.

Exemplu

1) Calculati media geometrica a numerelor

a) a=0,03 si b=0,27

Solutie

Ca sa calculam media geometrica a celor doua numere calculam:

m_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{0,03\cdot 0,27}=\sqrt{\frac{3}{100}\cdot\frac{27}{100}}=\sqrt{\frac{3\cdot 27}{100\cdot 100}}=\sqrt{\frac{\left(3^{2}\right)^{2}}{\left(10^{2}\right)^{2}}}=\frac{9}{100}.

dupa ce am aplicat formula pentru media geometrica a celor doua numere, am transformat fractiile zecimale in fractii ordinare, iar apoi am folosit regulile de calcul cu radicali, adica am extras factorii de sub radicali si astfel am gasit rezultatul de mai sus.

2) Calculati media aritmetica si media geometrica a numerelor:

a=2,\left(6\right)+\sqrt{0,69\left(4\right)}+1,5 si b=90\cdot\left[0,1\left(6\right)+0,\left(3\right)\right]

Ca sa calculam media aritmetica si media geometrica a numerelor, calculam mai intai numerele, astfel incepem cu

a=\frac{26-2}{9}+\sqrt{\frac{694-69}{900}}+\frac{15}{10}=\frac{24}{9}+\sqrt{\frac{625}{900}}+\frac{3}{2}=    \frac{8}{3}+\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{900}}+\frac{3}{2}=\frac{8}{3}+\frac{25}{30}+\frac{3}{2}=\frac{8}{3}+\frac{5}{6}+\frac{3}{2}=\frac{2\cdot 8+1\cdot 5+3\cdot 3}{6}=\frac{16+5+9}{6}=\frac{30}{6}=5.

Ca sa calculam numarul „a” am transformat fractiile zecimale in fractii ordinare, am simplificat pe unde s-a putut si am extras radicalul de la cel de-l doilea termen, iar apoi am adus la acelasi numitor si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

Acum calculam

b=90\cdot\left(\frac{16-1}{90}+\frac{3}{9}\right)=90\cdot\left(\frac{15}{90}+\frac{1}{3}\right)=

90\cdot\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)=90\cdot\left(\frac{1\cdot 1+2\cdot 1}{6}\right)=

90\cdot \frac{1+2}{6}=90\frac{3}{6}=90\cdot \frac{1}{2}=45.

Adica am efectuat calculele din paranteza (am adus la acelasi numitor,am simplificat) si apoi am efectuat produsul dinte numarul din fata parantezei si rezultatul obtinut din paranteza.

Dupa ce am aflat a si b calculam mai intai media aritmetica si media geometrica

m_{a}=\frac{a+b}{2}=\frac{5+45}{2}=\frac{50}{2}=25.

Acum calculam media geometrica

m_{g}=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{5\cdot 45}=\sqrt{225}=15.

3) Aflati perimetrul unui dreptunghi care are dimensiunile egale cu m_{a} si m_{g} a numerelor:

a=\left[5,(6)-3\frac{3}{4}+0,75\right]\cdot1\frac{1}{2}

si

b=\left(\frac{1}{12}\right)^{-1}+\sqrt{116,64}:2,7

Calculam mai intai

a=\left(\frac{56-5}{9}-\frac{3\cdot 4+3}{4}+\frac{75}{100}\right)\cdot\frac{1\cdot 2+1}{2}=    \left(\frac{51}{9}-\frac{15}{4}+\frac{3}{4}\right)\cdot\frac{3}{2}=    \left(\frac{17}{3}-\frac{15+3}{4}\right)\cdot\frac{3}{2}=    \left(\frac{17}{3}-\frac{12}{4}\right)\cdot\frac{3}{2}=\left(\frac{17}{3}-3\right)\cdot\frac{3}{2}=    \left(\frac{1\cdot 17-3\cdot 3}{3}\right)\cdot\frac{3}{2}=\frac{17-9}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{4}{1}\cdot\frac{1}{1}=4

Acum calculam b, astfel

b=\frac{12}{1}+\sqrt{\frac{11664}{100}}:\frac{27}{10}=12+\frac{\sqrt{11664}}{\sqrt{100}}\cdot\frac{10}{27}=12+\frac{108}{10}\cdot\frac{10}{27}=12+\frac{54}{5}\cdot\frac{10}{27}=12+\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{1}=12+4=16

Calculam mai intai media aritmetica a celor doua numere care le-am gasit

m_{a}=\frac{4+16}{2}=\frac{20}{2}=10

iar media geometrica

m_{g}=\sqrt{4\cdot 16}=\sqrt{64}=8

Cum stim  dimensiunile dreptunghiului, adica l=8 si L=10 calculam perimetrul sau

P=2\left(L+l\right)=2\left(10+8\right)=2\cdot 18=36 cm

Deci important la media geometrica si media aritmetica  a doua sau mai multe numere sa stim notiunile teoretice.