Dupa ce am invatat notiunea de primitiva, dar si sa calculam o primitiva/ primitivele unor functii, si mai important, sa demonstram cand o functie admite primitive, a venit vremea sa discutam despre metodele de calculare a integralelor. In afara de tabelul cu primitive, mai exista si doua metode:
– metoda integrarii prin parti
– metoda schimbarii de variabile
In acest articol o sa ne ocupam de metoda integrarii prin parti:
Aceste metode de calcul urmaresc transformarea unor integrale „complicate” in integrale care pot fi calculate mai usor.
Teorema. Presupunem ca functiile sunt derivabile cu derivatele:
continue. Fie doua numere
Atunci
Exemplu:
1. Calculati urmatoarele integrale:
Integrala de mai sus o calculam cu ajutorul metodei integrarii prin parti, astfel
consideram , deoarece stim ca
Observat ca am luat funcita sub derivare ca fiind x
Si
Si integrala de mai sus devine:
Mai intai am aplicat formula de mai sus pentru a obtine o integrala mai usor de rezolvat
In cea de-a doua integrala obtinuta am derivat membrul drept, adica , iar
Observati ca mai sus sus am aplicat formula Leibniz-Newton
Noua integrala obtinuta o rezolvam folosind formula , unde u(x)=3x+1, dar
, dar observati ca i fata integralei apare fractia
, pentru a se simplifica de la derivare.
Pentru a afla valoarea integralei am aplicat din nou Leibniz-Newton de unde am obtinut rezultatul 0.
b)
Ca sa calculam integrala de mai sus, mai intai ne alegem functia pe care o punem sub derivare:
Astfel daca luam
Stim ca
Deci alegem
Astfel integrala devine:
Iar acum daca aplicam formula de mai sus obtinem:
Astfel daca aplicam Leibnitz-Newton obtinem
Pentru a calcula am aplicat formula uzuala din tabelul de integrale nedefinite.
c)
Acum la fel ca si mai sus alegem functia cea mai convenabila pe care sa o bagam sub semnul derivarii astfel incat sa ne avantajeze sa obtinem integrale mai usor de rezolvat.
Astfel integrala devine astfel daca luam functia
Stim ca
Astfel consideram functia , dar si functia
astfel integrala devine:
Iar acum aplicand Metoda integrarii prin parti obtinem:
Acum aplicand formula Laibnitz-Newton obtinem:
Iar acum daca aplicam formulele pentru primitive obtinem ca
Iar la fel ca si mai sus daca aplicam Laibnitz-Newton
Obtinem rezultatul de mai sus.
.
Deci e important, pentru a aplica Metoda integrarii prin parti, sa cunoastem notiunea de derivata dar si teorema pentru a puteam aplica aceasta metoda.