Lucrare scrisa la matematica pe semestrul al doilea

Nume:

Prenume:

Subiectul I
1. Sa se determine produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice $latex \left(b_{n}\right)_{n\geq 1}$ stiind ca primul termen este egal cu 1 si ratia este q=-2
2. Se considera functia $latex f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R, f\left(x\right)=2^{x}+\log_{3}x$. Sa se calculeze: $latex f\left(1\right)+f\left(3\right)$
3.Sa se rezolve ecuatia $latex \lg^{2} x+4\lg x+3=0$
4. Sa se determine coordonatele varfului parabolei asociate functiei: $latex f\left(x\right)=4x^{2}-12x+9$
5. Sa se determine $latex m\in R$ pentru care distanta dintre punctele: $latex A\left(2,m\right), B\left(-m,-2\right)$ este egal cu $latex 4\sqrt{2}$
6. Stiind ca triunghiul ABC are BC=10 cm, AC= 5cm si $latex AB=5\sqrt{3}$. Sa se calculeze $latex \cos A$

Subiectul II
1. In multimea polinoamelor $latex R\left[X\right]$ se considera polinoamele:
$latex f=X^{3}+mX^{2}+nX+6$ si $latex g=X^{2}-x-2$
a) Sa se rezolve ecuatia $latex x^{2}-x-2=0$
b) Sa se determine $latex m, n\in R$ astfel incat polinomul f sa se divida cu polinomul g.
c) Pentru m=-4 si n=1 sa se calculeze produsul
$latex P=f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)\cdot…\cdot f\left(2014\right)$
Subiectul III
1. Se considera functia $latex f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{-x}$
a) Sa se calculeze $latex f^{‘}\left(x\right), f^{”}\left(x\right), x\in R$
b) Sa se arate ca $latex f\left(x\right)\leq 1, \forall x\in R$
c) Sa se determine ecuatia asimptotei spre $latex +\infty$ la graficul functie f.

2. Se considera functia $latex f:\left[0,1\right]\rightarrow R, f\left(x\right)=x\cdot \sqrt{2-x^{2}}$
a) Sa se calculeze $latex \int^{1}_{0}f^{2}\left(x\right)$
b) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuatie $latex x=0$ si $latex x=1$
c) Sa se calculeze $latex \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\int^{x}_{0}f\left(t\right) dt}{x^{2}}}$