Multimea numerelor reale Modulul unui numar real Reprezentarea pe axa a numerelor reale Ordonari

Pana anul acesta am discutat despre multimea numerelor naturale, multimea numerelor rationale, multimea numerelor intregi, iar acum prezentam multimea numerelor reale, dar si multimea numerelor irationale. Incepem prin a ne reaminti despre multimile care le-am invatat:

$N=\left\{0,1, 2, 3,..., \right\}$ – multimea numerelor naturale

$Z=\left\{...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\right\}$ -multimea numerelor intregi

$Q=\left\{\frac{a}{b}|a,b\in Z, b\neq 0\right\}$ – multimea numerelor rationale

Prezentam multimea numerelor irationale

Numerele care au partea zecimala infinita si neperiodica se numesc numere irationale.

Daca $p\in N^{*}$ si p nu este patrat perfect, atunci $\sqrt{p}$ este numar rational.

Exemple de numere irationale:

$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{10}$

Reuniunea dintre multimea numerelor rationale si multimea numerelor irationale formeaza multimea numerelor reale.

Multimea numerelor reale se noteaza cu $R$ si cu $R-Q$ multimea numerelor irationale.

De retinut sirul de incluziuni:

$N\subset Z\subset Q\subset R$

Definit

$R_{+}=\left\{x|x>0\right\}$ – multimea numerelor reale pozitive

$R_{-}=\left\{x|x<0\right\}$ – multimea numerelor reale negative

Reuniunea dintr multimea numerelor reale pozitive si multimea numerelor reale negative formeaza multimea numerelor reale.

$R=R_{+}\cup R_{-}$

Modulul unui numar real
$|x|=x\;\; daca\;\; x\geq 0 \\-x\;\; daca x<0$
Proprietati:

$|x|\geq 0$ oricare ari fi $x\in R$

$|-x|=|x|$ , oricare ar di $\in R$ .

Reprezentarea numerelor reale

Numim axa a numerelor reale o dreapta, cu un punct fixat numit origine, un sens puzitiv si o unitate de masura.

Oricarui numar real ii corespunde un unic punct pe axa numerelor si reciproc

Exercitii:

1) Se considera multimea:

$A=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{4\frac{1}{4}}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}$
Calculati $A\cap N; A\cap Z; A\cap Q; A\cap \left(R-Q\right)$
Aducem multimea A la forma cea mai simpla, adica calculam pe unde se poate radicali, patratele perfecte
$A=\left\{6; \sqrt{\frac{21}{4}}; \sqrt{\frac{64}{9}}; \sqrt{\frac{49}{16}}; \sqrt{\frac{4}{9}}; \sqrt{\frac{17}{4}}; 3\cdot2^{3}\right\}$
Deci multimea
$A=\left\{6; \frac{\sqrt{21}}{2}; \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3};\frac{\sqrt{17}}{2} ;24\right\}$
$A\cap N=\left\{6; 24\right\}$
iar in multimea A gasim numerele astfel:
$A\cap N=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}$ .
$A\cap Z=\left\{6; 24\right\}$
iar in multimea A gasim numerele sub forma

$A\cap Z=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{2^{2}\cdot 2^{6}}\right\}$
$A\cap Q=\left\{6, \frac{8}{3}; \frac{7}{4}; \frac{2}{3}; 24\right\}$
iar in multimea A gasim numerele sub forma
$A\cap Q=\left\{\sqrt{36}; \sqrt{7\frac{1}{9}}; \sqrt{3\frac{1}{16}}; \sqrt{0,\left(4\right)}; \sqrt{3^{2}\cdot 2^{6}}\right\}$
$A\cap \left(R-Q\right)=\left\{\sqrt{5\frac{1}{4}}; \sqrt{4\frac{1}{4}}\right\}$
Deci foarte important sa stim cum se definesc multimile, care sunt elementele fiecarei multimi, dar sa stim si operatiile cu multimi.

Multimea numerelor reale Modulul unui numar real Reprezentarea pe axa a numerelor reale Ordonari

Recente

Categorii