Ne place matematica !

Multimi finite si Multimi infinite Definitie

Dupa ce ati invatat notiunea de multime, care a fost un lucru nou pentru voi si ati vazut ca sirul numerelor naturale se numeste multimea numerelor naturale si se noteaza cu N , astazi o sa vorbim despre multimi finite si multimi infinite.

Astfel:

Multimea finita

Def: O multime se numeste finita daca are un numar finit de elemente.

Exemplu: A=\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5\right\} este o multime finita pentru ca multimea A are 5 elemente, deci card A=5.

Multimea infinita

Def: O multime se numeste infinita daca nu are un numar finit de elemente.

Exemplu: N=\left\{0,1 ,2, 3, 4,....\right\} – multimea numerelor naturale este o multime infinita, contine un numar infinit de elemente.

N^{*}=\left\{1, 2, 3, 4,...\right\}– multimea numerelor naturale nenule este o multime infinita

Obs: Trebuie sa stim ca N^{*}=N-{0} se numeste multimea numerelor naturale nenule .

Stiti ca am invatat notiunea de divizor dar si notiunea de multiplu.

Astfel multimea divizorilor unui numar a este: D_{a}=\left\{n|n\in N, n|a\right\}

Exemplu: D_{10}=\left\{1, 2, 5, 10\right\} observam ca 1|10, 2|10, 5|10, 10|10, deci se verifica si multimea divizorilor lui 10 este 1, 2, 5, 10.

D_{0}=\left\{0, 1, 3, 4,...\right\}=N,deci divizorii lui. Zero este multimea numerelor naturale.

D_{1}=\left\{1\right\}obtinem D_{a}\neq \otimes datorita faptului ca orice numar are cel putin un element.

Multimea multiplilor lui a
Notam M_{a} multimea multiplilor lui a. M_{a}=\left\{m| m\in N,\;\; m \;\;este\;\; multiplu \;\;a \;\;lui\;\; a\right\}=\left\{ 0\cdot a, 1\cdot a, 2\cdot a,..., n\cdot a\right\}

Obs: M_{a}\neq\otimes M_{0}=\left\{0\right\} M_{1}=\left\{1\cdot 0, 1\cdot 1, 2\cdot 1,...,n\cdot 1\right\}=N

Multimea divizorilor unui numar natural este o multime infinita iar multimea multiplilor unui numar natural este o multime finita.

Rezolvam cateva exercitii care ne ajuta sa intelegem ce am spus mai sus.

Determinati multimile:

a) A=\left\{x|x\in N\;\; si\;\; 3|x\right\}

b) B=\left\{x|x\in N, \left(x+2\right)|50\;\; si\;\; 3|x\right\}

c) C=\left\{x|x\in N, 4\leq2x\leq 10\;\; si\;\;\left(2x+1\right)|7\right\}

Solutie: a) A=\left\{0,3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24.....\right\}, deci multimea numerelor care se divid cu 3 este multimea multiplilor numarului 3.

b) Prima data scriem divizorii lui 50 D_{50}=\left\{1, 2, 5, 10, 25, 50\right\}, rezolvam ecuatiile (adica egalam numarul x+2 cu fiecare divizor al numarului )

x+2=1\Rightarrow x=1-2 (nu se poate, ecuatia nu are solutie)

Rezolvam fiecare ecuatie si astfel gasim solutia multimii:   latex B=\left\{0, 3, 8, 23, 48\right\}$

c) Pentru multimea  C calculam mai intai

4\leq 2x\leq 10|:2\Rightarrow 2\leq x\leq 5

Deci gasim  solutia inegalitatii, mai bine zis x poate lua valorile x\in \left\{2, 3, 4, 5\right\}, ca sa rezolvam inegalitatea de mai sus am impartit toata inegalitatea prin 2 si astfel am obtinut multimea de numere care poate sa o ia x.

Acum ca sa aflam  multimea C trebuie sa vedem daca indeplineste si cea de-a doua conditie, adica

2x+1|7

Asa cum am spus si la multimea B scriem multimea divizorii lui 7 si gasim:

D_{7}=\left\{1, 7\right\}, si rezolvam cele doua ecuatii si gasim x=0, 3

Deci multimea C=\left\{3\right\}.

Multimea C trebuie sa indeplineasca cele doua conditii obtinem ca C=\left\{3\right\} ,are un singur element, cand avem conjunctia “si” , in multimea respectiva trebuie sa se indeplineasca ambele conditii, in cazul nostru elementul x trebuie sa se afle intre numerele 2 si 5 inclusiv aceste cifre, iar cea de-a doua conditie 2x+1|7, noi am luat elementul 3, observam ca 3 se afla in intervalul 2,5, dar si 2\cdot 3+1|7, deoarece obtinem 7|7, daca incercam alta cifra care se afla in intervalul 2,5 observam ca nu indeplineste cea de-a doua conditie, de exemplu x=2 se afla intervalul 2; 5, dar 2\cdot 2+1=4+1=5 dar observam ca 5 nu divide pe 7.

Deci cand avem la o multime doua conditii si avem cojunctia “si” intre ele, trebuie sa avem grija sa se indeplineasca cele doua conditii, iar daca avem ”sau” trebuie sa indeplineasca cel putin una din conditiile din multime.