Dupa cum bine observati si din titlul articolului ,astazi o sa discutam despre Operatii cu functii Compunerea functiilor.

Cu ajutorul operatiilor  cu functii o sa invatam sa calculam suma functiilor, diferenta functiilor, produsul functiilor, catul functiilor.

Fie functiile $latex f, g: A\rightarrow R, A\subset R$, doua functii numerice:

Functia $latex f+g:A\rightarrow R, \left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ se numeste suma functiilor f si g.

Functia $latex f-g:A\rightarrow R,\left(f-g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ se numeste diferenta functiilor f si g.

Functia $latex f\cdot g:A\rightarrow R, \left(f\cdot g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$ se numeste produsul functiilor f si g.

Daca $latex g\left(x\right)\neq 0, \forall x\in A$, atunci functia $latex \frac{f}{g}:A\rightarrow R; \left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ se numeste catul functiilor f si g.

Iar acum ceea ce  este cel mai important la aceasta lectie;

Compunerea functiilor, este foarte important sa intelegeti compunerea functiilor, deoarece o sa mai avem de efectuat si alte exercitii cu compunerea functiilor.

Fiea A, B, C trei multimi nevide si

$latex f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C$ doua functii. atunci functia $latex h:A\rightarrow C, h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$ este functia compusa a functiilor g si f si se noteaza $latex h=g\circ f$.

Observatie:

Compunerea functiilor nu este comutatitva, adica $latex \left(f\circ g\right)\neq\left(g\circ f\right)$

Compunerea functiilor este asociativa $latex f\circ \left(g\circ h\right)=\left(f\circ g\right)\circ h$

Prezentam cateva exercitii prin care sa intelegem compunerea functiilor, dar si  operatiile cu functii

 

1) Se considera functiile $latex f, g:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x-3$ si $latex g\left(x\right)=3x-1$. Rezolvati ecuatiile:

a) $latex \left(f\circ f\right)\left(x\right)=6$

b)  $latex \left(g\circ g\right)\left(x\right)=-8$

c)  $latex \left(f\circ g\right)\left(x\right)=9$

Solutie

a)  $latex \left(f\circ f\right)\left(x\right)=6\Rightarrow f\left(f\left(x\right)\right)=6\Rightarrow f\left(2x-3\right)=6\Rightarrow 2\cdot\left(2x-3\right)-3=6\Rightarrow 2\left(2x-3\right)=6+3\Rightarrow 2\left(2x-3\right)=9\Rightarrow 2x-3=\frac{9}{2}\Rightarrow 2x=\frac{9}{2}+3\Rightarrow 2x=\frac{1\cdot 9+2\cdot 3}{2}\rightarrow 2x=\frac{9+6}{2}\Rightarrow 2x=\frac{15}{2}\Rightarrow x=\frac{15}{4}$

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai am compus functia f cu ea insasi, observam ca am calculat $latex f\left(f\left(x\right)\right)$, adica $latex f\left(2x-3\right)$, deoarece f il cunoastem, iar restul este rezolvarea unei ecuatii asa cum am invatat in clasele mai mici.

b)  $latex \left(g\circ g\right)\left(x\right)=-8\Rightarrow g\left(g\left(x\right)\right)=-8\Rightarrow g\left(3x-1\right)=-8\Rightarrow 3\cdot\left(3x-1\right)-1=-8\Rightarrow 3\left(3x-1\right)=-8+1\Rightarrow 3\left(3x-1\right)=-7\Rightarrow 3x-1=\frac{-7}{3}\Rightarrow 3x=\frac{-7}{3}+1\Rightarrow 3x=\frac{1\cdot \left(-7\right)+3\cdot 1}{3}\Rightarrow 3x=\frac{-7+3}{3}\Rightarrow 3x=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{9}$.

c) $latex \left(f\circ g\right)\left(x\right)=9\Rightarrow f\left(g\left(x\right)\right)=9\Rightarrow f\left(3x-1\right)=9\Rightarrow 2\cdot\left(3x-1\right)-3=9\Rightarrow 2\left(3x-1\right)=9+3\Rightarrow 2\left(3x-1\right)=12\Rightarrow 3x-1=6\Rightarrow 3x=6+1\Rightarrow 3x=7\Rightarrow x=\frac{7}{3}$.

La exercitiul c) observam ca avem f compus cu g si obtinem f de g de x, deci in locul lui g(x) scriem  3x-1 iar restul este calcul.

2) Se considera functiile $latex f, g:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x+1$ si  g(x)=x+2. Rezolvati ecuatia

$latex \left(f\circ f\circ g\right)\left(x\right)=\left(f\circ g\circ g\right)$

$latex \left(f\circ f\circ g\right)\left(x\right)=\left(f\circ g\circ g\right) \Rightarrow

f\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)=f\left(g\left(g\left(x\right)\right)\right)\Rightarrow

f\left(f\left(x+2\right)\right)=f\left(g\left(x+2\right)\right)\Rightarrow

f\left(2\left(x+2\right)+1\right)=f\left(x+2+2\right)\Rightarrow

f\left(2x+4+1\right)=f\left(x+4\right)\Rightarrow

f\left(2x+5\right)=f\left(x+4\right)\Rightarrow

2\left(2x+5\right)+1=2\left(x+4\right)+1\Rightarrow

4x+10+1=2x+8+1\Rightarrow

4x+11=2x+9\Rightarrow

4x-2x=9-11\Rightarrow

2x=-2\Rightarrow x=-1$

Deci important e sa stim sa compunem functiile.