Dupa ce am invatat sa efectuam operatii cu numere naturale, numere intregi si numere rationale a venit vremea sa discutam si despre operatii cu numere reale .

Astfel operatiile cu numere reale pastreaza toate proprietatile operatiilor cu numere rationale. In continuare o sa definim operatiile cu numere reale, dar si noile reguli pe care le aplicam atunci cand efectuam aceste operatii,  in special cand avem numere irationale.

1) Suma sau produsul dintre un numar rational nenul si unul irational este un numar irational.
a) Adunarea numerelor reale
Pentru a aduna mai multe numere reale de forma a\sqrt{b} cu b\geq 0, care au acelasi numar sub radical se procedeaza astfel:
-se aduna factorii din fata radicalului si se inmultesc cu radicalul
Exemplu:
a) 5\sqrt{7}+11\sqrt{7}+6\sqrt{7}+7\sqrt{7}=\sqrt{7}\left(5+11+6+7\right)=29\sqrt{7}.
Deci important la aceste calcule sa avem acelasi factor sub radical.

Produsul a doua numere reale
Produsul numerelor a\sqrt{b} si c\sqrt{d} b, d\geq 0 este un numar real a\cdot c\sqrt{c\cdot d}. De asemenea mai avem si urmatoarele cazuri particulare:

a) a\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}=a\sqrt{b\cdot c}, b, d\geq 0
b) a\cdot b\sqrt{c}=ab\sqrt{c}, c\geq 0.
Exemplu
a) 3\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}=3\cdot 2\sqrt{2\cdot 3}=6\sqrt{6}
b) 2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}
c) -3\sqrt{3}\cdot\sqrt{39}=-3\sqrt{117}=-3\cdot 3\sqrt{13}=-9\sqrt{13}
La exercitiul ca am scos si factorii de sub radicali.

Impartirea numerelor reale
Impartirea a doua numere de forma a\sqrt{b} si c\sqrt{d} cu c\neq 0, b,d\geq 0 se efectueaza la fel ca si la impartirea numerelor rationale se inmulteste dempartitul cu inversul impartitorului.
a\sqrt{b}:c\sqrt{d}=a\sqrt{b}\cdot\frac{1}{c\sqrt{d}}=\frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}}
Sau mai putem scrie impartirea celor doua numere
a\sqrt{b}:c\sqrt{d}=\frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}}=\frac{a}{c}\cdot\sqrt{\frac{c}{d}}
Exemplu:

3\sqrt{5}:6\sqrt{10}=\frac{3}{6}\sqrt{\frac{5}{10}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Ridicarea la putere intreaga a unui numar real
Ridicand un numar real de forma a\sqrt{b} a\neq 0, b>0 la putere intreaga obtinem
obtinem \left(a\sqrt{b}\right)^{n}=a^{n}\sqrt{b^{n}}
Exemplu:
\left(3\sqrt{5}\right)^{3}=3^{3}\sqrt{5}^{3}=27\cdot 5\sqrt{5}=135\sqrt{5}.

Exercitii
1) Calculati
a) \sqrt{3}\left(4+\sqrt{6}\right)-\left(\sqrt{12}-\sqrt{18}\right)+\left(\sqrt{27}+2\sqrt{6}\right):\sqrt{3}-\left(\sqrt{8}+3\right)  =4\sqrt{3}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{27}:\sqrt{3}+2\sqrt{6}:\sqrt{3}-2\sqrt{2}-3=  4\sqrt{3}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{\frac{27}{3}}+2\sqrt{\frac{6}{3}}-2\sqrt{2}-3=  \left(4-2\right)\cdot\sqrt{3}+\left(3+3\right)\cdot\sqrt{2}+\sqrt{9}+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-3=  2\sqrt{3}+3-3=2\sqrt{3}+6\sqrt{2}.

Observam ca la exercitiul de mai sus am inmultit radical din 3 cu fiecare termen al parantezei (distributivitatea inmultirii fata de adunare) la cea de-a doua paranteza am scos factorii de sub radical, iar semnul din fata parantezei a schimbat toate semnele.

La cea de-a treia paranteza am folosit impartirea radicalilor, impartirea numerelor reale, dar si distributivitatea .Adica am impartit fiecare termen al parantezei la numarul respectiv iar la ultima paranteza am scos factorul de sub radical si am schimbat semnul termenilor. Dupa ce am terminat aceasta etapa am luat termenii asemenea si am lucrat cu acestia, adica numerele care au avut pe radical din 3 am efectuat calculele asa cum am invatat mai sus la fel si la radical din doi si asfel am obtinut rezultatul.

b) 15\sqrt{7}+3\left\{-4\sqrt{3}+5\left[2\sqrt{7}+3\left(3\sqrt{3}-7\right)\right]\right\}=  15\sqrt{7}+3\left[-4\sqrt{3}+5\left(2\sqrt{7}+9\sqrt{3}-21\right)\right]=15\sqrt{7}+3\left(-4\sqrt{3}+10\sqrt{7}+45\sqrt{3}-105\right)=  15\sqrt{7}+3\left(41\sqrt{3}+10\sqrt{7}-105\right)=  15\sqrt{7}+123\sqrt{3}+30\sqrt{7}-315=123\sqrt{3}+45\sqrt{7}-315
La exercitul b) trebuia sa efectuam calculele din prima paranteza, paranteza rotunda, cum nu am avut ce sa efectuam am desfintat paranteza rotunda folosind distributivitatea inmultirii fata de adunare. La fel si la paranteza dreapta, dar si la acolada, iar la fiecare etapa a si disparut cate o paranteza. Poate vi se pare prea mare rezultatul care l-am obtinut, dar cum nu avem radicali de acelasi fel nu avem cum sa-i adunam si deci raman asa.

Important la adunarea si scaderea radicalilor daca nu sunt de acelasi fel nu putem sa-i adunam, trebuie sa aiba acelasi termen sub radical.