Dupa ce am invatat sa inmultim doua rapoarte sa impartim doua rapoarte sa scadem si sa adunam doua rapoarte algebrice, astazi o sa efectuam operatii cu rapoarte algebrice, care dupa cum v-am spus joaca un rol important pentru examenul de Evaluare Nationala .
Cu rapoartele algebrice efectuam urmatoarele tipuri de operatii:
– de ordinul I (adunarea si scderea)
– de ordinul II (inmultirea si impartirea )
-de ordinul III (ridicarea la putere).
Calculul cu rapoarte algebrice se face respectand regulile pe care le respectam si cand efctuam operatii cu numere rationale.
Astfel avem urmatoarele reguli:
– daca avem operatii de acelasi ordin, se efectueaza operatiile in care apar, in ordinea in care sunt scrise
– daca avem operatii de ordin diferit, se efectueaza mai intai operatiile de gradul III, apoi cele de gradul II si in final cele de gradul I, iar daca apar si paranteze , efectuam mai intai operatiile din parantezele rotunde, apoi cele patrate, si, ultima data cele din acolade.
Prezentam cateva exemple care sa ne faca sa intelegem ce am spus mai sus:
Exemplu:
1) Efectuati:
a) $latex \frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x+x^{2}}-\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}:\frac{x-1}{x+1}=
\frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^{2}}\cdot\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-\frac{1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{1}=\frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-\frac{x+1}{x+1}=\frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{1}{x\left(1+x\right)}-1=\frac{\left(x^{2}+1\right)\cdot\left(x+1\right)-x\cdot x^{2}-1-x\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}=\frac{x^{3}+x^{2}+x+1-x^{3}-1-x^{2}-x}{x\left(x+1\right)}=\frac{0}{x\left(x+1\right)}=o$
Ca sa rezolvam raportul de mai sus prima data am tinut cont de ordinea efectuarii operatiilor, adica am efectuat prima data impartirea, am dat factor comun pe unde am putut iar apoi am simplificat la produs unde am putut. Apoi am adus la acelasi numitor rapoartele rezultate (adica am descompus numitorii in produs de factorii primii si am gasit c.m.m.m.c al numitorilor si apoi am amplificat fiecare fractie), am efectuat calculele si am observat ca la numaratori s-au redus toti termenii si am obtinut rezultatul 0.
2) Fie expresia
$latex E\left(x\right)=\left(\frac{x+2}{x+3}+\frac{x-2}{x-3}-\frac{x^{2}-3}{x^{2}-9}\right)\cdot\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4x+4}$
a) Determinati valorile lui x pentru care expresia este bine definita.
b) Aratati ca $latex E\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$
c) Rezolvati ecuatia $latex 2\cdot E\left(x\right)=1$
a) Ca sa aflam valorile lui x pentru care expresia este bine definita punem conditia ca numitorii sa fie diferiti de 0:
$latex x+3\neq 0 \Rightarrow x\neq -3
\\ x-3\neq 0\Rightarrow x\neq 3
\\ x^{2}+4x+4\neq 0\Rightarrow \left(x+2\right)^{2}\neq 0\Rightarrow x=-2$
Deci domeniul de definitie al raportului este $latex x\in R-\left\{3, -3, -2\right\}$
Ca sa aflam valorile lui x rezolvam toate ecuatiile de la numitorii rapoartelor si astfel le aflam.
b) Ca sa aducem expresia la forma procedam astfel:
Rezolvam mai intai paranteza, iar in paranteza descompunem numitorii in produs de factori primi si gasim numitorul comun:
$latex E\left(x\right)=\left(\frac{x+2}{x+3}+\frac{x-2}{x-3}-\frac{x^{2}-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\cdot\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=$
$latex \left(\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)+\left(x+3\right)\left(x-2\right) -1\cdot \left(x^{2}-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\cdot\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=$
$latex \left(\frac{x^{2}+2x-3x-6+x^{2}-2x+3x-6-x^{2}+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=$
$latex \left(\frac{x^{2}-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=
\left(\frac{x^{2}-9}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=
\left(\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}}=\frac{x-2}{x+2}
$
c) Rezolvam ecuatia $latex 2\cdot E\left(x\right)=1\Rightarrow 2\cdot\frac{x-2}{x+2}=1\Rightarrow \frac{x-2}{x+2}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2\cdot\left(x-2\right)=1\cdot\left(x+2\right)\Rightarrow 2x-4=x+2\Rightarrow x=6$
Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus in locul expresiei am pus valoarea pe care am gasit-o la b, apoi am facut produsul mezilor egal cu produsul extremilor, iar restul este o rezolvare de clasa a V-a si astfel am gasit solutia ecuatiei.
Deci, important la operatii cu rapoarte , este sa stim foarte bine descompunerea rapoartelor, formulele de calcul prescurtat (ca sa putem sa restrangem patratele) si sa gasim corect numitorul comun.
