Patratul si cubul unui numar natural, ultima cifra a unui numar, patrate perfecte

Poate ati mai auzit de notiunea de patratul si cubul unui numar natural, despre patrate perfecte sau cum calculam ultima cifra a unui numar.
Puterea a doua unui numar natural $a$ , adica $a^{2}$ , se numeste patratul numarului $a$ , astfel $a^{2}$ se citeste „a la patrat”.

Puterea a treia a unui numr natural $a$ , adica $a^{3}$ , se numeste cubul numarului $a$ , astfel $a^{3}$ se citeste ‘a la cub’.

Astfel un patrat perfect este patratul unui numar natural.

Sirul de numere
$0, 1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, este sirul$

$0^{2}, 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}, 6^{2},8^{2}, 9^{2}, 10^{2}$
Fie x un numar natural, atunci ultima cifra a unui numar natural se noteaza $U\left(x\right)$

Ca sa invatam mai usor patratele perfecte trebuie sa stim ca ultima cifra a unui patrat perfect poate fi: 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Ca sa ne dam seama de unde le obtinem invatam patratele perfecte pana la 10 si invatam ultima cifra pentru fiecare patrat perfect.
$0^{2}, 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}, 6^{2}, 8^{2}, 9^{2}, 10^{2}$
$0, 1, 4 9, 16, 25, 36, 64, 81, 100$

Deci ca sa fie patrat perfect un numar trebuie sa aiba ultima cifra: 0, 1, 4, 5, 6, 9. (luam ultima cifra a patratelor perfect)

De aici obtinem si o metoda prin care putem sa demonstram ca un numar este sau nu patrat perfect. Deci daca ultima cifra a unui numar este diferita de: 0, 1, 4, 5, 6, 9 atunci numarul nu este patrat perfect sau altfel spus putem spune ca un numar nu este patrat perfect daca ultima cifra este 2, 3, 7, 8.

Ca sa obtinem ultima cifra a unui numar aplicam urmatoarea regula:
$U\left(x+y\right)=U\left(U\left(x\right)+U\left(y\right)\right)$

$U\left(x\cdot y\right)=U\left(U\left(x\right)\cdot U\left(y\right)\right)$
$U\left(x^{n}\right)=U\left[\left(U\left(x^{n}\right)\right)^{n}\right]$

Exemple:
1) Aratati ca urmatoarele numere nu sunt patrate perfecte:
a) $2^{1981}$
Calculam ultima cifra a numarului de mai sus:
$U\left(2^{1981}\right)=U\left(2^{1}\right)=2$
Ca sa calculam ultima cifra a numarului de mai sus am scris baza asa cum este si am impartit exponentul la 4, iar restul obtinut l-am trecut la exponent adica 1, iar 2 la puterea 1 este 2.
Deci ultima cifra a numarului este 2 si nu este patrat perfect.Ca sa fie patrat perfect trebuia sa aiba ultima cifra 0, 1, 4, 5, 6, 9.

2) Aratati ca numarul $1998^{1999}$ nu este patrat perfect.
Calculam ultima cifra a numarului de mai sus
$U\left(1998^{1999}\right)$
$U\left(8^{1999}\right)=U\left(8^{3}\right)=U\left(8\cdot 8\cdot 8\right)=U\left(512\right)=2$

Ca sa demonstram ca numarul nu este patrat perfect calculam ultima cifra a numarului respectiv, astfel pentru inceput calculam ultima cifra a lui 1998, care este 8, iar apoi calculam ultima cifra a exponentului prin impartirea exponentului la 4 si astfel, daca impartim numarul 1999:4 obtinem catul 499 rest 3, iar pe noi restul 3 ne intereseaza.

Deci $8^{3}=512$ iar ultima cifra a lui 512 este 2 si astfel obtinem ca numarul nu este patrat perfect.