In acest articol o sa invatam despre pozitiile relative a doua drepte in plan si care sunt conditiile pe care trebuie sa le indeplineasca coeficientii dreptelor pentru a fi in una din pozitiile relative a doua drepte prezentate mai jos, astfel:
Consideram mai intai dreptele date prin ecuatia carteziana generala $latex d:ax+by+c=0$
si $latex d^{‘}:a^{‘}x+b^{‘}y+c^{‘}=0$
dupa cum se stie, doua drepte in plan pot fi in urmatoarele situatii una fata de cealalata:
– concurenta
– paralele
– confundate
Conditia ca doua drepte sa fie confundate a fost caracterizata astfel: $latex d=d^{‘}\Leftrightarrow$ exista $latex t\neq 0$ astfel incat $latex a^{‘}=ta,b^{‘}=tb, c^{‘}=tc$
In continuare o sa ne ocupam de situatiile cand dreptele sunt paralele sau concurente.
Daca dreptele d si d’ indeplinesc urmatoarele conditii:
– exista $latex t\neq 0$ cu proprietatea $latex a^{‘}=ta, b^{‘}=tb$ si $latex d\neq d^{‘}$ atunci dreptele d si d’ sunt paralele.
Daca dreptele d si d’ nu indeplinesc conditia de mai sus, atunci sunt concurente.
Toerema (pozitia relativa a doua drepte in plan)
Fie dreptele $latex d:ax+by+c=0$ si $latex d^{‘}=a^{‘}x+b^{‘}y+c^{‘}$=0
– dreptele d si d’ sunt concurente daca si numai daca $latex ab^{‘}-a^{‘}b\neq 0$
– dreptele d si d’ sunt paralele daca si numai daca $latex a^{‘}=ta, b^{‘}=tb, c^{‘}\neq tc$
– dreptele d si d’ sunt confundate daca si numai daca $latex a^{‘}=ta, b^{‘}=tb, c^{‘}=tc$
Observatie in conditiile teoremei de mai sus rezulta ca:
a) d si d’ sunt paralele daca si numai daca $latex ab^{‘}-a^{‘}b=0$ si $latex a^{‘}c-ac^{‘}\neq 0,bc^{‘}-b^{‘}c\neq 0$
b) d si d’ sunt confundate daca si numai daca $latex ab^{‘}-a^{‘}b=0,ac^{‘}-a^{‘}c=0$ si $latex bc^{‘}-b^{‘}c=0$.
Drepte date sub forma explicita
Fie dreptele $latex d: y=mx+n$ si $latex d^{‘}:y=m^{‘}x+n^{‘}$
1) dreptele d si d’ sunt concurente, daca si numai daca $latex m\neq m^{‘}$
2) dreptele d si d’ sunt paralele, daca si numai daca $latex m=m^{‘}$ si $latex n\neq n^{‘}$
3) dreptele d si d’ sunt paralele, daca si numai daca $latex m=m^{‘}$ si $latex n=n^{‘}$
Aplicatii:
1) Determinati $latex a, b\in R$ astfel incat $latex d:ax+3y-8=0$ si $latex d^{‘}:4x+by+20=0$
a) confundate
b) paralele
Solutie:
Observam ca dreptele sunt date prin ecuatia carteziana generala, astfel dreptele d si d’ sunt confundate daca si numai daca $latex a\cdot b-3\cdot 4=0\Rightarrow ab-12=0\Rightarrow ab=12$
Dar si $latex a\cdot 20-\left(-8\right)\cdot 4=0\Rightarrow$
$latex 20a+32=0\Rightarrow 20a=-32\Rightarrow$
$latex a=\frac{-32}{20}^{(4}=\frac{-8}{5}$
Dar si $latex 3\cdot 20-\left(-8\right)\cdot b=0\Rightarrow 60+8b=0\Rightarrow 8b=-60\Rightarrow b=\frac{-60}{8}^{(4}=
\frac{-15}{2}$
Deci pentru $latex a=\frac{-8}{2}$ si $latex b=\frac{-15}{2}$, dreptele sunt confundate
b) La fel ca si la punctul a dreptele sunt date cu ajutorul ecuatiei carteziene generale, astfel pentru a fi paralele din conditia de la teorema enuntata mai sus avem:
$latex a\cdot b-3\cdot 4=0\Rightarrow ab=12$
Dar si $latex a\cdot 20-\left(-8\right)\cdot 4\neq 0$
$latex \Rightarrow 20a+32\neq 0\Rightarrow 20a\neq -32\Rightarrow$
$latex a\neq \frac{-32}{20}^{(4}\Rightarrow a\neq\frac{-8}{5}$
Sau $latex 3\cdot 20-\left(-8\right)\cdot b\neq 0\Rightarrow 60+8b\neq 0\Rightarrow 8b\neq -60\Rightarrow b\neq\frac{-60}{8}^{(4}\Rightarrow b\neq \frac{-15}{2}$
Deci $latex a\cdot b=12$, dar $latex a\neq\frac{-8}{5}$ sau $latex b\neq\frac{-15}{2}$.