Ne place matematica !

Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan

Dupa ce am invatat unghiul a doua drepte in plan, astazi o sa invatam despre pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan, astfel:
– o dreapta poate avea un singur punct comun in comun cu un plan, deci dreapta intersecteaza planul sau inteapa planul

O dreapta poate avea un singur punct in comun cu un plan
– o dreapta poate avea in comun cu un plan doua puncte, in acest caz dreapta este inclusa in plan sau continuta in plan
Matematic scriem
A, B\in \alpha \Rightarrow d\subset \alpha
O dreapta poate avea in comun cu un plan doua puncte
– o dreapta poate sa nu aiba nici un punct in comun cu un plan, in acest caza dreapta este paralele cu planul
dreapta nu are nici un punct cu un plan
Matematic scriem
<br /> d\cap\alpha=\Phi<br /> \\d||\alpha</p> <p>
Enuntam o teorema care ne ajuta la rezolvarea problemelor
Teorema. O dreapta paralela cu o dreapta dintr-un plan este paralela cu planul sau continuta in plan.
Rezolvam cateva probleme care ne ajuta sa intelegem mai bine notiunile prezentate mai sus.
1) In cubul ABCDA`B`C`D` precizati pozitia dreptei:
a) B`C` fata de planul (A`BC)
b) AA` fata de planul (ABB`)
c) BD fata de planul (BCD)

probleme rezolvate cub
a) Dreapta B`C`|| cu BC
<br /> BC\subset (ABC) \Rightarrow B`C`|| (ABC)<br />
Obsevam ca dreapta B`C` este paralela cu dreapta BC care este inclusa in planul (ABC), deci dreapta B`C` este paralela cu planul (ABC), conform teoremei enuntate mai sus si din faptul ca dreapta noastra nu are nici un punct in comun cu planul (ABC).
b) AA` fata de planul (ABB`)

Ddreapta paralela cu un plan, probleme rezolvate
AA`||BB` Cum  BB`\subset (ABB`) rezulta ca dreapta este inclusa in planul (ABB`), conform teoremei de mai sus, dreapta poate sa fie paralela cu planul sau continuta in el .
 BB`|| (ABB`)
c) BD fata de planul (BCD)
Dreapta este inclusa in plan probleme rezolvate
 BD\subset (BCD) Dreapta are doua puncte in comun cu planul BCD, punctele B, D sunt comune cu planul BCD, si conform definitiei o dreapta care are doua puncte in comun cu un plan este inclusa in plan, deci BD inclusa in planul BCD.

2) In tetraedrul ABCD se noteaza cu M mijlocul muchiei AD si cu N mijlocul muchiei AC. Stabiliti pozitia dreptei MN fata de planul (BCD)

probleme rezolvate pozitia unei drepte intr-un tetraedru
ABCD tetraedru
M mijlocul lui AD, AM=MD
N mijlocul lui AC, AN=NC
Cl: Pozitia dreptei MN fata de planul BCD
Dem:
cum m este mijlocul lui AD si N mijlocul lui Ac, rezulta ca MN este linie mijlocie (linia mijlocie intr–un triunghi este segmentul care uneste mijlocul a doua laturi neparalele, iar teorema care am invatat-o in clasa a VI-a ne spunea ca linia mijlocie intr-un triughi este paralela cu cea de-a treia latura si jumatate din acesta ) in triunghiul ACD, deci paralela cu CD, cum CD este inclusa in planul BCD, rezulta ca dreapta MN este paralela cu planul BCD