Progresii aritmetice

Pana acum nu am ati mai auzit de notiunea de progresii aritmetice si progresii geometrice, cu exercitii de acest gen ati mai lucrat dar nu ati stiut ca se numesc asa, de exemplu cand aveti un sir de numere de forma:
1,2, 3, 4, …
observam ca la acest sir de elemente se obtine din termenul precedent prin adaugare unui numar, adica fiecare termen al sirului se obtine din cel precendent prin adaugarea cifrei 1.
Astfel
Progresii aritmetice
Def: Un sir $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$ este o progresie aritmetica daca sunt cunoscute: primul termen notat $a_{1}$ si un numar real r $r\neq 0$ denumit ratie astfel incat orice termen incepanad cu cel de-al doilea se obtine din cel precendent prin adaugarea ratiei.

$a_{n+1}=a_{n}+r$ , oricare ari fi $n\neq 1$ (relatia de recurenta).

La exemplul pe care l-am dat noi mai sus ratia este 1,

Alt exemplu

7, 4, 1, -2,…

observam ca ratia este -3.

Termenul general al unei progresii aritmetice se calculeaza cu formula

$a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r$ oricare ar fi $n\geq 1$

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice se calculeaza cu formula:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$

Exemplu:

$1+2+3+...+n=\frac{n\cdot\left(1+n\right)}{2}$ (suma primilor n termeni ai unui numar natural pe care o stim inca din clasa a V-a, dar care atunci am luat-o ca atare).

Teorema. Un sir constitue o progresie aritmetica, daca si numai daca are loc relatia de recurenta;

$a_{n+1}=\frac{a_{1}+a_{n+2}}{2}$ , oricare ar fi $n\in N^{*}$

Proprietati:

i) $a_{n+1}-a_{n}$ =constant, oricare ari fi $n\geq 1$

ii) $a_{1}+a_{n}=a_{k}+a_{n-k+1}$ , oricare ar fi $n\geq 1$

iii) $S_{n}=\frac{\left[2a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\right]\cdot n}{2}$ , oricare ar fi $n\geq 1$ .

Prezentam exemple prin care sa intelegem cea ce am spus mai sus

1)Fie sirul $a_{n}=2n-1,$ oricare ari fi $n\in N^{*}$

a) Determinati primi trei termeni ai sirului

b) Calculati suma primilor 30 de termeni ai sirului.

Solutie:

a) $a_{1}=2\cdot 1-1\Rightarrow a_{1}=1$

$a_{2}=2\cdot 2-1\Rightarrow a_{2}=3$

$a_{3}=2\cdot 3-1\Rightarrow a_{3}=5$

Am gasit primi trei termeni ai sirului

b) Ca sa calculam suma primilor 30 de termeni aplicam formula pentru pentru suma primilor n termeni, dar mai intai trebuie sa aflam

$a_{30}=2\cdot 30-1$

$\Rightarrow a_{30}=60-1$

$\Rightarrow a_{30}=59$ .

iar acum aplicam suma primilor n termeni, in cazul nostru suma primilor 30 de termeni

$S_{30}=\frac{30\left(1+59\right)}{2}=\frac{30\cdot 60}{2}=900$

Daca nu stiam aceasta formula dupa cum bine stiti din clasa a V-a trebuia sa avem grija cum sa scriem fiecare tereme astfel incat sa putem aplica formula $\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}$ .

2) Rezolvati ecuatia:

3+5+7+…+x=224

Solutie

Observam ca termenii sumei din membrul stang sunt termenii unei progresii aritmetice in care $a_{1}=3, r=5-3\Rightarrow r=2$

Ca sa rezolva ecuatia de mai sus calculam termenul general astfel:

$a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r$

$\Rightarrow x=3+\left(n-1\right)\cdot 2\Rightarrow x-3=\left(n-1\right)\cdot 2$

$\Rightarrow \frac{x-3}{2}=n-1\Rightarrow \frac{x-3}{2}+1=n$

$\Rightarrow n=\frac{x-3+1\cdot 2}{2}$

$\Rightarrow n=\frac{x-3+2}{2}\Rightarrow n=\frac{x-1}{2}$ .

Astfel obtinem

$3+5+7+...+x=\frac{\frac{x-1}{2}\left(3+x\right)}{2}=$

$\frac{\left(x-1\right)\cdot\left(x+3\right)}{2\cdot 2}$

$\Rightarrow \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(x+3\right)}{4}=224|\cdot 4$

$\Rightarrow \left(x-1\right)\left(x+3\right)=224\cdot 4$

Astfel obtinem o ecuatie de gradul al doilea

$x^{2}+3x-x-3=896\Rightarrow x^{2}+2x-899=0 \\\Delta=b^{2}-4ac \\\Delta=4-4\cdot\left(- 899\right) \\\Delta =4+3596 \\\Delta=3600$

Calculam

$x_{2}=\frac{-2+\sqrt{3600}}{2}=\frac{-2+60}{2}=\frac{58}{2}=29$

$x_{2}=\frac{-2-\sqrt{3600}}{2}=\frac{-2-60}{2}=\frac{-62}{2}=-31<0$ (nu convine)

Deci solutia ecuatiei este x=29.

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus prima data am stabilit ca termenii ecuatiei sunt in progresie aritmetica in care am aflat primul termen si ratia progresiei, ia apoi am calculat termenul general al progresiei, adica membru stang. Am aflat “n”, iar apoi am calculat suma primilor n termenii cu ajutorul termenului general pe care l-am gasit mai sus. Suma primilor n termeni pe care am gasit-o am egalat-o cu termenul cunoscut al ecuatiei, astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea pe care am rezolvat-o si am observat ca una din solutiile ecuatiei nu convine deoarece este mai mic ca 0.

Progresii aritmetice

Recente

Categorii