Proprietati ale functiilor continue pe intervale

Clasa functiilor continue are cateva proprietati remarcabile care isi gasesc numeroase aplicatii in teoria ecuatiilor.

Astfel discutam despre:

– existenta solutiilor unei ecuatii

-stabilirea semnului unei functii

-proprietatea lui Darboux

Pentru existenta solutiilor unei ecuatii enuntam urmatoarea teorema care ne ajuta sa stabilim daca o ecuatie are sau nu solutie:

Teorema (Cauchy-Bolzano): Fie $f:A\rightarrow R$ o functie continua pe intervalul I si $a, b\in I, a<b$ . Daca valorile $f\left(a\right)$ si $f\left(b\right)$ ale functiei f au semne contrare $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0$ atunci exista $c\in\left(a, b\right)$ astfel incat $f\left(c\right)=0$

Observatie. Din Teorema Cauchy- Bolzano rezulta ca daca o functie $f:I\rightarrow R$ continua pe un interval $I\subset R$ are valori de semne contrare $a, b\in I$ , atunci ecuatia $f\left(x\right)=0$ are cel putin o solutie in intervalul $\left(a,b\right)$ . Deci acest rezultat ne permite sa aratam ca anumite ecuatii au cel putin o solutie intr-un interval dat.

Exemplu:

1) Sa se arate cu urmatoarele ecuatii au solutii in intervalul dat:

a) $x^{2}=e^{x}\;\; I=\left[0, 1\right]$

b) $\left(x^{2}-8\right)\cdot 2^{x}-1=0\;\;\; I=\left[2,3\right]$

Solutie

a) Rescriem ecuatia de mai sus si obtinem:

$x^{2}=e^{x}\Rightarrow x^{2}-e^{x}=0$ .

Astfel consideram functia

$f\left(x\right)=x^{2}-e^{x}$ , care este continua pe I.

Avem

$f\left(0\right)=0^{2}-e^{0}=0-1=-1$

$f\left(1\right)=1^{2}-e^{1}=1-e<0$

Deci

$f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)<0$

Atunci conform teoremei de mai sus exista un $c\in I$ astfel incat $f\left(c\right)=0$ , atunci ecuatia are cel putin o solutie in intervalul I.

b) Rescriem ecuatia si obtinem $\left(x^{2}-8\right)\cdot 2^{x}-1=0$

Consideram functia:

$f\left(x\right)=\left(x^{2}-8\right)\cdot 2^{x}-1$ care este continua pe pe I.

Avem:
$f\left(2\right)=\left(2^{2}-8\right)\cdot 2^{2}-1=-4\cdot 4-1=-16-1=-17<0$

si
$f\left(3\right)=\left(3^{2}-8\right)\cdot 2^{3}-1=7$

Deci

$f\left(2\right)\cdot f\left(3\right)<0$ . Atunci exista $c\in I$ astfel incat $f\left(c\right)=0$ , deci ecuatia are cel putin o solutie conform Teoremei

$f\left(1\right)=1^{2}-e^{1}=1-e<0$

Deci

$f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)<0$

Atunci conform teoremei de mai sus exista un $c\in I$ astfel incat $f\left(c\right)=0$ , atunci ecuatia are cel putin o solutie in intervalul I conform Teoremei Cauchy- Bolzano.

Stabilirea semnului unei functii

Teorema

Daca o functie $f: I\rightarrow R$ este continua pe intervalul I si $f\left(x\right)\neq 0, \forall x\in I$ atunci f are acelasi semn pe intervalul I.

Exemplu:

2) Sa se stabileasca semnul functiei $f: D\rightarrow R$ in cazurile

a) $f\left(x\right)=x^{4}-10x^{2}+9$

Solutie

a) Aflam solutia ecuatiei $f\left(x\right)=0$
Observam ca este o ecuatie de gradul al IV-lea

Notam $x^{2}=y$ , astfel daca rescriem ecuatia obtinem o ecuatie de gradul al doilea

$y^{2}-10y+9=0$

Calculam

$\Delta=10^{2}-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64$

Acum calculam

$y_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{10+\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{10+8}{2}=\frac{18}{2}=9$

$y_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{10-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{10-8}{2}=\frac{2}{2}=1$

Acum stim ca :

$x^{2}=y_{1}\Rightarrow x^{2}=9\Rightarrow x=\pm\sqrt{9}\Rightarrow x=\pm 3$

$x^{2}=y_{2}\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm\sqrt{1}\Rightarrow x=\pm 1$ .

Deci solutiile ecuatiei sunt :

$x\in \left\{-3; -1; 1; 3\right\}$ .

Functia f este continua pe R, si nu se anuleaza pe intervalele

$\left(-\infty; -3\right), \left(-3; -1\right), \left(-1; 1\right), \left(1, 3\right); \left(3, +\infty\right)$ ea are semn constant pe fiecare din aceste intervale.

Calculam $f\left(-4\right)=105; f\left(4\right)=105, f\left(0\right)=9; f\left(-2\right)=-15; f\left(2\right)=-15$ , putem alcatui tabelul de semn al functiei.