Ne place matematica !

Proprietati ale functiilor continue pe intervale

Clasa functiilor continue are cateva proprietati remarcabile care isi gasesc numeroase aplicatii in teoria ecuatiilor.

Astfel discutam despre:

– existenta solutiilor unei ecuatii

-stabilirea semnului unei functii

-proprietatea lui Darboux

Pentru existenta solutiilor unei ecuatii enuntam urmatoarea teorema care ne ajuta sa stabilim daca o ecuatie are sau nu solutie:

Teorema (Cauchy-Bolzano): Fie f:A\rightarrow R o functie continua pe intervalul I si a, b\in I, a<b. Daca valorile f\left(a\right) si f\left(b\right) ale functiei f au semne contrare f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0 atunci exista c\in\left(a, b\right) astfel incat f\left(c\right)=0

Observatie. Din Teorema Cauchy- Bolzano rezulta ca daca o functie f:I\rightarrow R  continua pe un interval I\subset R are valori de semne contrare a, b\in I, atunci ecuatia f\left(x\right)=0 are cel putin o solutie in intervalul \left(a,b\right). Deci acest rezultat ne permite sa aratam ca anumite ecuatii au cel putin o solutie intr-un interval dat.

Exemplu:

1) Sa se arate cu urmatoarele ecuatii au solutii in intervalul dat:

a) x^{2}=e^{x}\;\; I=\left[0, 1\right]

b) \left(x^{2}-8\right)\cdot 2^{x}-1=0\;\;\; I=\left[2,3\right]

Solutie

a) Rescriem ecuatia de mai sus si obtinem:

x^{2}=e^{x}\Rightarrow x^{2}-e^{x}=0.

Astfel consideram functia

f\left(x\right)=x^{2}-e^{x}, care este continua pe I.

Avem

f\left(0\right)=0^{2}-e^{0}=0-1=-1

 

si

f\left(1\right)=1^{2}-e^{1}=1-e<0

Deci

f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)<0

Atunci conform teoremei de mai sus exista un c\in I astfel incat f\left(c\right)=0, atunci ecuatia are cel putin o solutie in intervalul I.

b) Rescriem ecuatia si obtinem \left(x^{2}-8\right)\cdot 2^{x}-1=0

Consideram functia:

f\left(x\right)=\left(x^{2}-8\right)\cdot 2^{x}-1 care este continua pe pe I.

Avem:
f\left(2\right)=\left(2^{2}-8\right)\cdot 2^{2}-1=-4\cdot 4-1=-16-1=-17<0

si
f\left(3\right)=\left(3^{2}-8\right)\cdot 2^{3}-1=7

Deci

f\left(2\right)\cdot f\left(3\right)<0. Atunci exista c\in I astfel incat f\left(c\right)=0, deci ecuatia are cel putin o solutie conform Teoremei

si

f\left(1\right)=1^{2}-e^{1}=1-e<0

Deci

f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)<0

Atunci conform teoremei de mai sus exista un c\in I astfel incat f\left(c\right)=0, atunci ecuatia are cel putin o solutie in intervalul I conform Teoremei   Cauchy- Bolzano.

Stabilirea semnului unei functii

Teorema

Daca o functie f: I\rightarrow R este continua pe intervalul I si f\left(x\right)\neq 0, \forall x\in I atunci f are acelasi semn pe intervalul I.

Exemplu:

2) Sa se stabileasca semnul functiei f: D\rightarrow R in cazurile

a) f\left(x\right)=x^{4}-10x^{2}+9

Solutie

a) Aflam solutia ecuatiei f\left(x\right)=0
Observam ca este o ecuatie de gradul al  IV-lea

Notam x^{2}=y, astfel daca rescriem ecuatia obtinem o ecuatie de gradul al doilea

y^{2}-10y+9=0

Calculam

\Delta=10^{2}-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64

Acum calculam

y_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{10+\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{10+8}{2}=\frac{18}{2}=9

y_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{10-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{10-8}{2}=\frac{2}{2}=1

Acum stim ca :

x^{2}=y_{1}\Rightarrow x^{2}=9\Rightarrow x=\pm\sqrt{9}\Rightarrow x=\pm 3

x^{2}=y_{2}\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm\sqrt{1}\Rightarrow x=\pm 1.

Deci solutiile ecuatiei sunt :

x\in \left\{-3; -1; 1; 3\right\}.

Functia f este continua pe R, si nu se anuleaza pe intervalele

\left(-\infty; -3\right), \left(-3; -1\right), \left(-1; 1\right), \left(1, 3\right); \left(3, +\infty\right) ea are semn constant pe fiecare din aceste intervale.

Calculam f\left(-4\right)=105; f\left(4\right)=105, f\left(0\right)=9; f\left(-2\right)=-15; f\left(2\right)=-15, putem alcatui tabelul de semn al functiei.

Cum stabilim semnul unei functii

Deci functia este crescatoare pe intervalele \left(-\infty -3\right); \left(-1, 1\right); \left(3, +\infty\right).

si descrescatoare pe intervalul \left(-3, -1\right); \left(-1, 3\right).