Astazi ne ocupam de rezolvari pentru vizitatori si vom trata rezolvarea ecuatiilor exponentiale si logaritmice.

Prezentam mai multe ecuatii exponentiale si logaritmice rezolvate, astfel incepem prin a rezolva o ecuatie exponentiala:

ecuatii logaritmice

a) 5^{x}-5^{3-x}=20

Ca sa rezolvam aceasta ecuatie mai intai ne folosim de regulile de calcul cu puteri si rescriem ecuatia: 5^{x}-5^{3}\cdot 5^{-x}=20 deoarece stim ca a^{-1}=\frac{1}{a}

Ecuatia devine ^{5^{x})}5^{x}-^{1)}5^{3}\cdot\frac{1}{5^{x}}=^{5^{x})}20

Acum daca aducem la acelasi numitor obtinem:

\frac{5^{x}\cdot 5^{x}-1\cdot 5^{3}}{5^{x}}=\frac{5^{x}\cdot 20}{5^{x}}\Rightarrow 5^{2x}-125-20\cdot 5^{x}=0

Aceasta ecuatie putem sa o rescriem:

\left(5^{x}\right)^{2}-20\cdot 5^{x}-125=0

Observati ca am folosit regulile de calcul cu puteri.

Acum daca notam 5^{x}=t ecuatia devine:

t^{2}-20\cdot t-125=0

Si astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea, unde a=1, b=-20 si c=-125

Acum calculam \Delta =b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-20\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-125\right)=400+500=900

Acum calculam t_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{-\left(-20\right)+\sqrt{900}}{2\cdot 1}=\frac{20+30}{2}=\frac{50}{2}=25

Si t_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{-\left(-20\right)-\sqrt{900}}{2\cdot 1}=\frac{20-30}{2}=\frac{-10}{2}=-5

Deci am obtinut doua solutii ale ecuatiei dar deorece 5^{x}>0, rezulta ca -5 nu poate sa fie egal cu 5^{x} si deci singura solutie a ecuatiei se obtine din 5^{x}=t_{1}\Rightarrow 5^{x}=25\Rightarrow 5^{x}=5^{2}\Rightarrow x=2

b)  9^{\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Observam ca la fel ca la exercitiul de mai sus avem o ecuatie exponentiala, astfel stim ca

3^{2}=9

Deci ecuatia devine \left(3^{2}\right)^{\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Sau cu regula de calcul \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}

\left(3^{\sqrt{x}}\right)^{2}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Si daca notam 3^{\sqrt{x}}=t

Ecuatia devine t^{2}-4\cdot t+3=0

Iar cu \Delta =\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4

Si t_{1}=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3

Dar si t_{1}=\frac{-\left(-4\right)\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1

Deci avem doua solutii pozitive  si avem 3^{\sqrt{x}}=t_{1}\Rightarrow 3^{\sqrt{x}}=3\Rightarrow \sqrt{x}=1\Rightarrow x=1

Deoarece avem functia radical pentru a exista radicalul de ordinul doi punem conditia ca x\geq 0\Rightarrow x\in\left[0; +\infty\right)

Dar mai avem si ca 3^{\sqrt{x}}=t_{2}\Rightarrow 3^{\sqrt{x}}=1\Rightarrow

3^{\sqrt{x}}=3^{0} \Rightarrow x=0

Pentru a fi siguri ca solutiile obtinute sunt corecte inlocuim x=0 in ecuatia initiala si obtinem:

9^{\sqrt{0}}-4\cdot 3^{\sqrt{0}}+3=1-4\cdot 1+3=-3+3=0

Deci se verifica.

c) \log_{5}{x^{2}-11x+43}=2

Observam ca in cazul de mai sus avem o ecuatie logartimica, deci mai intai punem conditia ca argumentul sa fie mai mare ca 0, astfel x^{2}-11x+43>0 si studiem semnul functiei sau solutiile ecuatiei gasite la inlocuim in ecuatie sa vedem care o verifica si astfel aflam si solutia astfel ecuatia devine x^{2}-11x+43=5^{2} \Rightarrow x^{2}-11x+43=25\Rightarrow x^{2}-11x+43-25=0\Rightarrow x^{2}-11x+18=0

Acum calculam \Delta=\left(-11\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 18=121-72=49

Acum calculam x_{1}=\frac{-\left(-11\right)+\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{11+7}{2}=\frac{18}{2}=9

Dar si x_{2}=\frac{-\left(-11\right)-\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{11-7}{2}=\frac{4}{2}=2

Iar acum daca inlocuim in ecuatia logaritmica  fiecare solutie gasita, obtinem:

\log_{5}{9^{2}-11\cdot 9+43}=\log_{5}{81-99+43}=\log_{5}{25}=5

Deci se verifica si am obtinut ca o solutie a ecuatiei este 5, acum

\log_{5}{2^{2}-11\cdot 2+43}=\log_{5}{4-22+43}=\log_{5}{25}=5

deci si ce-a de-a doua solutie se verifica si astfel am obtinut ca solutiile ecuatiei sunt 2 si 9.

d) \log_{x+1}{3x^{2}+2x-3}=2

In cazul ecuatiei de mai sus punem conditiile:

x+1>0\Rightarrow x>-1\Rightarrow x\i\left(-1; +\infty\right)

3x^{2}+2x-3>0

Si consideram functia: f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=3x^{2}+2x-3

Si studiem semnul functiei \Delta=2^{2}-4\cdot 3\cdot\left(-3\right)=4+36=40

Calculam: x_{1}=\frac{-2+\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{-2+2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\left(-1+\sqrt{10}\right)}{6}=\frac{-1+\sqrt{10}}{3}

x_{2}=\frac{-2-\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{-2-2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\left(-1-\sqrt{10}\right)}{6}=\frac{-1-\sqrt{10}}{3}

Acum intocmim tabelul de valori:

cum stabilim semnul functie de gradul al doilea

Astfel inecuatia are solutii in intervalul \left(-\infty; -1-\sqrt{10}\right)\cup\left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)

Dar stim si ca x>-1 deci solutia ecuatiei se afla in intervalul \left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)\cap\left(-1; +\infty\right)=\left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)

\log_{x+1}{3x^{2}+2x-3}=2\Rightarrow 3x^{2}+2x-3=\left(x+1\right)^{2}\Rightarrow 3x^{2}+2x-3=x^{2}+2x+1\Rightarrow 3x^{2}+2x-3-x^{2}-2x-1=0\Rightarrow 2x^{2}-4=0\Rightarrow 2\left(x^{2}-2\right)=0\Rightarrow x^{2}-2=0\Rightarrow x^{2}=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}.

Am gasit ca solutiile ecuatiei sunt -\sqrt{2} si \sqrt{2}

Dar nu se afla in intersectia conditiilor de mai sus, deci nu convin.

e) \lg x\cdot\left(\lg x-8\right)+16=0

In cazul ecuatiei de mai sus efectuam calculul

\lg x\cdot \lg x-\lg x\cdot 8+16=0\Rightarrow \lg^{2}x-8\lg x+16=0

Punem conditia ca x>0, deci x\in\left(0; +\infty\right)

Acum daca notam \lg x=y

ecuatia devine y^{2}-8y+16=0

Acum calculam \Delta=\left(-8\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 16=64-64=0

Deci solutia ecuatiei este: y_{1}=\frac{-\left(-8\right)+0}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4=y_{2}

Deci solutia ecuatiei este: \lg x=4\Rightarrow x=10^{4}=10000

Acum inlocuim solutia gasita in ecuatie obtinem \lg 10^{4}\left(\lg 10^{4}-8\right)+16=4\cdot 1\left(4\cdot 1-8\right)+16=4\cdot\left(4-8\right)+16=4\cdot\left(-4\right)+16=-16+16=0

Deci se verifica solutia ecuatiei.