Ridicarea la putere cu exponent numar natural a unui numar rational pozitiv Reguli de calcul cu puteri

Despre ridicarea la putere a unui numar am mai invatat si in clasa a V-a, dar in clasa a v-a am invatat ridicarea la putere a unui numar natural.Astazi invatam ridicarea la putere cu exponent numar natural a unui numar rational pozitiv, dar si reguli de calcul cu puteri, pe care unii dintre voi vi le reamintiti de la numere naturale.
Stiti ca ridicarea la putere a unui numar este o inmultire repetata.
De exemplu:
$2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8$ asta pentru ridicarea la putere cu exponent cu numar natural a unui numar natural.
Def: Daca $a\in Q$ si $n\in N, n\geq 2$ se defineste puterea $n$ -a a unui numar natural a sau a la puterea n.
$a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot....\cdot a}_{n\;\; ori}$
Prin conventie $a^{1}=1,$ pentru $a\neq 0$ si $a^{0}=1$ si mai stim ca $0^{0}$ nu are sens.
In cazul de mai sus $a^{n}$ a este baza, iar „n” se numeste exponent.
Exemplu:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$ dupa cum am invatat la inmultirea numerelor rationale.
Reguli de calcul cu puteri
Fie $a,b, c, d\in Q^{*}$ si $n, m\in N$ . atunci in calcule cu puteri se aplica urmatoarele reguli:

1) Inmultirea puterilor cu aceeasi baza (se copiaza baza si se aduna exponentii)
$\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n+m}$
2) Impartirea puterilor care au aceeasi baza (se copiaza baza si se scad exponentii)
$\left(\frac{a}{b}\right)^{n}:\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n-m}$
3) Puterea unei puteri (se copiaza baza si se inmultesc exponentii)
$\left[\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\right]=\left(\frac{a}{b}\right)^{n\cdot m}$

4) Puterea unui produs (se ridica al putere fiecare factor al produsului)
$\left(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\right)^{n}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\cdot\left(\frac{c}{d}\right)^{n}$

5)Puterea unui cat (se ridica la putere fiecare factor al catului

$\left(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}\right)^{n}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}:\left(\frac{c}{d}\right)^{n}$
Prezentam cateva exemple prin care sa intelegem notiunile pe care le-am prezentat mai sus:

1) Calculati si scrieti rezultatul sub forma de fractie zecimala
a) $\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2+1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{3}=\frac{3^{3}}{2^{3}}=\frac{27}{8}=27:8=3,375$
b) $\left(\frac{13}{10}\right)^{12}:\left(\frac{13}{10}\right)^{10}=\left(\frac{13}{10}\right)^{12-10}=\left(\frac{13}{10}\right)^{2}=\frac{13^{2}}{10^{2}}=\frac{169}{100}=169:100=1,69$

2) Calculati folosind o singura regula
a) $\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\right]^{6}=\left(\frac{2}{3}\right)^{3\cdot 6}=\left(\frac{2}{3}\right)^{18}$ .
b) $\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\cdot\left(\frac{3}{7}\right)^{5}$

$=\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{7}\right)^{5}=$

$\left(\frac{2}{7}\right)^{5}$
La exercitiul b) am folosit regula a patra (puterea unui produs, cand nu avem aceeasi baza, dar avem aceeasi exponent copiem expondentii si inmultim bazele), iar noi am simplificat pe diagonala prin 3.

c) $\left(\frac{9}{5}\right)^{15}:\left(\frac{7}{5}\right)^{15}=\left(\frac{9}{5}:\frac{7}{5}\right)^{15}= \left(\frac{9}{5}\cdot\frac{5}{7}\right)^{15}=\left(\frac{9}{7}\right)^{15}$ .