Simetria fata de o dreapta

Majoritatea uita notiunea de simetria fata de o dreapta, adica simetricul unui punct fata de o dreapta sau, mai mult, unui dintre voi stiti ce inseamna dar nu stiti sa o construiti. Astfel stim de la simetria unui punct fata de un punct ca:
Simetricul unui punct A fata de un punct O este punctul B cu proprietatea ca distanta de la A la O este egla cu distanta de la B la O, cu alte cuvinte ca O este mijlocul segmentului AB.

si notam: $S_{O}A=B$ sau $S_{O}B=A$
Dar noi astazi o sa discutam despre simetria unui punct fata de o dreapta.

Definitie: Doua punct A si B se numesc simetrice fata de o dreapta d, daca dreapta d este mediatoarea segmentului [AB].

Observatie: Daca doua puncte sunt simetrice in raport cu o dreapta atunci fiecare dintre ele este simetricul celuilalt fata de dreapta data.
La fel ca mai sus notam $S_{d}A=B$ si citim simetricul punctului A fata de dreapta d este punctul B. Astfel daca avem
$S_{d}A=B\Rightarrow d\perp AB, d\cap AB={O}, [OA]\equiv[OB]$
Aplicatii: Fie D un punct pe ipotenuza [BC] in triunghiul dreptunghic ABC. Notam cu E, respectiv F simetricele punctului D fata de AB, respectiv AC. Aratati ca:

a) punctele E, A, F sunt coliniare
b) $EF=2\cdot AD$

Demonstratie:
Fie $DE\cap AB=\left\{M\right\}$ si $DF\cap AC=\left\{P\right\}$
Si in dreptunghiul AMDP construim diagonala AD
Astfel avem triunghiurile $\Delta AMD$ si $\Delta AME$
Astfel avem $[AM]\equiv[AM]$ (latura comuna)
$[MD]\equiv [ME]$ (E erste simetricul lui D fata de AB)
$\widehat{AMD}\equiv\widehat{AME}$

Deci cu cazul de congruenta L.U.L $\Delta AMD\equiv\Delta AME$ de unde obtinem ca $\widehat{MAD}\equiv\widehat{MAE}$
Dar si $\Delta APD$ si $\Delta APF$ adica avem $[AP]\equiv[AP]$ (latura comuna)
$[PD]\equiv[PF]$ (F este simetricul lui D fata de dreapta AC)
Dar si $\widehat{APF}\equiv\widehat{APD}$
Si cu cazul de congruente L.U.L obtinem ca $\Delta APD\equiv\Delta APF$
de unde obtinem ca $\widehat{PAD}\equiv\widehat{PAF}$

Si astfel avem ca $m\left(\widehat{EAF}\right)=m\left(\widehat{EAM}\right)+m\left(\widehat{MAD}\right)+m\left(\widehat{DAP}\right)+m\left(\widehat{PAF}\right)=2\cdot\left(m\left(\widehat{MAD}\right)+m\left(\widehat{PAD}\right)\right)=2\cdot 90^{0}=180^{0}$ , deci punctele F, A, E sunt coliniare.

b) $EF=2\cdot AD$
Observam ca $EF=EA+AF$
Mai sus am demonstrat ca $\Delta AEM\equiv\Delta ADM$ , de unde obtinem si ca $[AE]\equiv[AD]$
Dar mai stim si ca $\Delta APD\equiv\Delta APF$ , adica $[AD]\equiv[AF]$
Si astfel obtinem $EF=AE+AF=AD+AD=2\cdot AD$ , ceea ce trebuia sa demonstram.
2. Daca $C\notin AB$ si D este simetricul punctului C fata de AB, aratati ca $\Delta ABC\equiv\Delta ABD$
Demonstratie:

Fie $AB\cap CD=\left\{O\right\}$
Astfel consideram triunghiurile:
$\Delta AOC$ si $\Delta AOD$ dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD
$[AO]\equiv[AO]$ (latura comuna)
$[CO]\equiv[DO]$ (D este simetricul lui C fata de dreapta AB)
Astfel obtinemn cu cazul C.C ca
$\Delta AOC\equiv\Delta AOD$ so obtinem ca $[AC]\equiv[AD]$ (1)
Acum consideram triunghiurile:
$\Delta COB$ si $\Delta DOB$ , dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD si avem:
$[CO]\equiv[DO]$ (deoarece D simetricul lui C fata de AB)
$[BO]\equiv[BO]$ (latura comuna) si cu cazul de congruneta C.C obtinem ca
$\Delta COB\equiv\Delta DOB$ , de unde obtinem si ca $[CB]\equiv[DB]$ (2)
Astfel avem triunghiurile:
$\Delta ABC$ si $\Delta ABD$
Stim ca $[AC]\equiv[AD]$ (din (1))
Dar si $[CB]\equiv[DB]$ (din (2))
Si observam ca $[aB]\equiv[AB]$ (latura comuna) si astel cu cazul de congruenta de la la truighiuri oarecare L.L.L obtinem ca $\Delta ABC\equiv\Delta ABD$ .

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de simetricul unui punct fata de un punct, dar si simetria unui punct fata de o dreapta, notiuni care sunt destul de importante, constituind baza pentru ceea ce v-a urma.

Simetria fata de o dreapta

Recente

Categorii