Simulare Bacalaureat 2014 clasa a XI-a matematica

Prezentam o simulare bacalaureat 2014 clasa a XI-a la matematica subiectul I.
Dupa cum bine stiti inca din calsa a X-a ecuatiile exponentiale joaca un rol important si se pune accent pe ele cand se realizeaza subiectele la bacalaureat.

Subiecte simulare bacalaureat 2014

1) Sa se rezolve ecuatia
$3^{x}+2\cdot 3^{x+1}=7$
2) Sa se determine toate valorile reale ale lui x pentru care $x\left(x-1\right)\leq x+15$ .
3) Sa se determine valoarile reale ale numarului m, astfel incat reprezentarea grafica a functiei $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x^{2}-\left(m+1\right)x-m$ sa fie tangenta la axa Ox.
4) Sa se rezolve ecuatia $\lg\left(x+4\right)+\lg\left(2x+3\right)=\lg\left(1-2x\right)$
5) Sa se calculeze cosinusul unghiului ascutit format de diagonalele dreptunghiului ABCD stiind ca AB=16 cm, si BC=12 cm.
6) Se considera triunghiul echilateral ABC de centru O. Daca punctul M este mijlocul segmentului BC, sa se determine numarul real astfel incat $\vec{AO}=a\cdot\vec{AM}$ .
Solutie
1) Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus mai intai observam ca ecuatia putem sa o scriem:
$3^{x}+2\cdot 3^{x+1}=7\Rightarrow 3^{x}+2\cdot 3^{x}\cdot 3^{1}=7$
Astfel daca notam cu
$t=3^{x}$ si astfel ecuatia devine
$t+2\cdot t\cdot 3=7\Rightarrow t+6t=7\Rightarrow 7t=7\Rightarrow t=1$
Astfel stim ca
$3^{x}=1\Rightarrow 3^{x}=3^{0}\Rightarrow x=0$
2) Acum sa aflam valorile reale ale lui x care verifica inegalitatea
$x\left(x-1\right)\leq x+15\Rightarrow x^{2}-x-x-15\leq 0\rightarrow x^{2}-2x-15\leq 0$ .
Acum calculam
$\Delta=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64$
Calculam acum
$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{64}}{2\cdot a}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$
$x_{2}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3$
Acum sa efectuam tabelul de variatie

Deci solutia inecuatiei este intervalul $\left[-3, 5\right]$
3) Mai intai calculam valoarea minima a functiei $V\left(\frac{-b}{2\cdot a}, 0\right)$
Astfel avem ca
$\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-\left[-\left(m-1\right)\right]}{2\cdot 1}=\frac{m-1}{2}$
Astfel avem urmatoarea ecuatie :
$x^{2}-\left(m+1\right)\cdot x-m=0$
Conditia ca reprezentarea grafica sa fie tangenta la axa OX este ca $\Delta =0$
Astfel mai intai calculam Delta
$\Delta =\left[-\left(m-1\right)\right]^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-m\right)=\left(m-1\right)^{2}+4m$
Acum avem conditia $\Delta =0\Rightarrow\left(m-1\right)^{2}+4m=0$
$\Rightarrow m^{2}-2m+1+4m=0\Rightarrow m^{2}+2m+1=0\Rightarrow\left(m+1\right)^{2}=0$
$\Rightarrow m=-1$
deci pentru m=-1 reprezentarea grafica este tangenta la axa Ox.
4) Pentru a rezolva ecuatia avem mai intai conditiile:
$x+4>0\Rightarrow x>-4\;\; I_{1}=\left(-4, +\infty\right) \\ 2x+3>0\Rightarrow x>\frac{-3}{2}\;\; I_{2}=\left(-\frac{3}{2}, +\infty\right) \\1-2x>0\Rightarrow x<\frac{1}{2}\;\; I_{3}=\left(-\infty; \frac{1}{2}\right)$
Acum $I=I_{1}\cap I_{2}\cap I_{3}=\left(-4;\infty\right)\cap\left(-\frac{3}{2}; \infty\right)\cap\left(-\infty;\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$
Astfel ecuatia devine:
$\lg\left(x+4\right)\cdot\left(2x+3\right)=\lg\left(1-2x\right)\Rightarrow \left(x+4\right)\cdot\left(2x+3\right)=\left(1-2x\right)\Rightarrow 2x^{2}+3x+8x+12=1-2x\Rightarrow 2x^{2}+13x+11=0$
Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul II
Calculam
$\Delta =13^{2}-4\cdot 2\cdot 11=169-88=81$
Calculam acum
$x_{1}=\frac{-13+9}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1\in I$
$x_{2}=\frac{-13-9}{4}=\frac{-22}{4}=\frac{-11}{2}\notin I$
Deci solutia ecuatiei este x=-1
5)
In triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow AC^{2}=256+144\Rightarrow AC=\sqrt{400}\Rightarrow AC=20 cm$ .
Stim ca $OB=OC=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10$
Acum daca aplicam Teorema cosinusului gasim ca
$BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}-2\cdot OB\cdot OC\cdot cos\widehat{BOC}\Rightarrow 144=100+100-2\cdot 10\cdot 10\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow 144-200=-200\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow -56=-200\cdot\cos\widehat{BOC}\Rightarrow \cos\widehat{BOC}=\frac{56}{200}\Rightarrow \cos\widehat{BOC}=\frac{7}{25}$
6)
Stim ca O este centrul de greutate al triunghiului (intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid), atunci
$\vec{AO}=\frac{2}{3}\vec{AM}$ , deci gasim cs
$a=\frac{2}{3}$
deci stim ca punctul de intersectie al medianelor este situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza.

Acesta a fost subiectul I simulare bacalaureat 2014 cls. XI SI XII .

Simulare Bacalaureat 2014 clasa a XI-a matematica

Subiecte simulare bacalaureat 2014

Recente

Categorii