adunarea fractiilor ordinare

Prezentam cateva exercitii rezolvate cu sume de fractii, mai complicate se pare, dat fiind faptul ca sunt trimise de vizitatorii MatePedia.

1) Calculati: 400 supra 81 minus 399 supra 81 plus 398 supra 81 minus 397 supra 81 plus…. 2 supra 81 minus 1 supra 81. Adica s-ar scrie cam asa …

$\frac{400}{81}-\frac{399}{81}+\frac{398}{81}-\frac{397}{81}+....+\frac{2}{81}-\frac{1}{81}= \left(\frac{400}{81}-\frac{399}{81}\right)+\left(\frac{398}{81}-\frac{397}{81}\right)+....+\left(\frac{2}{81}-\frac{1}{81}\right)=\frac{400-399}{81}+\frac{398-397}{81}+...+\frac{2-1}{81}=$

$\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+...+\frac{1}{81}=$

$\frac{1+1+...+1}{81}=$

$\frac{200\cdot 1}{81}=\frac{200}{81}$

Observati ca pentru a calcula suma de mai sus am grupat termenii sumei cate 2 pentru a efectua diferenta, unde am obtinut o suma in care numaratorul este 1. Acum trebuie sa stabilim de cate ori apare termenul 1 si astfel efectuam impartirea > 400:2=200 (deoarece termenii de mai sus i-am grupat cate 2) si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

2) Pentru ce numa $n\in N$ , avem

$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{2010}{2011}$

Pentru a calcula membrul drept rescriem suma $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{4\cdot 5}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$

Observati ca termenii de mai sus s-au redus ramanand doar primul termen si ultimul, astfel egalitatea de mai sus devine: $^{\left(n+1\right)}1-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1-1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow 2010\left(n+1\right)=2011\cdot n\Rightarrow 2010\cdot n+2010=2011\cdot n\Rightarrow2011\cdot n -2010\cdot n=2010\Rightarrow n=2010$

Deci numarul natural gasit este 2010.

3) Rezolvati ecuatia:

$\frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}$

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus de preferat ar fi sa nu ne gandim sa gasim numitorul comun, sa amplificam si sa calculam cum am invatat, caci este o munca destul de grea si anevoioasa, astfel mai intai ar trebui sa ne gandim cum sa scriem fiecare numarator, astfel incat sa putem simplifica anumiti termeni. Astfel ecuatia rescriind-o obtinem: $\frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}\Rightarrow \frac{x-2014+2008}{2008}+\frac{x-2014+2012}{2012}=\frac{x-2014+6}{6}+\frac{x-2014+2}{2}\Rightarrow$

Acum scriind suma de la numarator ca doua fractii obtinem urmatoarele fractii:

$\frac{x-2014}{2008}+\frac{2008}{2008}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{2012}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{6}{6}+\frac{x-2014}{2}+\frac{2}{2}\Rightarrow$

Acum simplificand fiecare fractie obtinuta mai sus, obtinem:

$\frac{x-2014}{2008}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{1}{1}=\frac{x-2014}{6}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2}+\frac{1}{1}\Rightarrow$

Observati ca cifra 1 se reduce, aparand atat in membrul stang cat si in membrul drept de 2 ori si astfel se reduc: $\frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{x-2014}{2}\Rightarrow \frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}-\frac{x-2014}{6}-\frac{x-2014}{2}=0\Rightarrow \left(x-2014\right)\cdot\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)=0$

Observam ca $\frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}<\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$

Si obtinem $x-2014=0\Rightarrow x=2014$

4) Simplificati fractia: $\frac{2+\left(2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2\right)}{4^{1008}}$

Mai intai calculam suma, dar putem sa o si rescriem astfel: $2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2$ , folosind formula $S_{n}=b_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}$

Pentru cei care sunteti in calsa a IX stiti ca teremenii acestei sume sunt termenii unei progresii geometrice cu ratia: $q=\frac{2^{2013}}{2^{2012}}=2$ , adica formula $q=\frac{b_{n+1}}{b{n}}$

Pentru cei din gimnaziu trebuie sa retineti formula de mai sus. Si stim ca primul termen il notam cu $b_{1}=2$ , iar q il obtinem observand la putere din cat in cat sunt termenii, iar baza se pastreaza. Observam ca mai sus avem puterile: $2013, 2012, 2011,....,1, 0$

Astfel daca efectuam scaderea intre primii doi termeni obtinem 2013-2012=1 si baza pastrandu- se obtinem $q=2^{1}=2$

Astfel suma devine: $S=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{2-1}=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{1}=2\cdot 2^{2013}-2\cdot 1$

$=2^{2014}-2$

Iar fractia devine: $\frac{2+2^{2014}-2}{4^{1008}}=\frac{2^{2014}}{\left(2^{2}\right)^{1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2\cdot 1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2016}}^{(2^{2014}}=\frac{2^{2014}:2^{2014}}{2^{2016}:2^{2014}}=\frac{2^{2014-2014}}{2^{2016-2014}}=\frac{2^{0}}{2^{2}}=\frac{1}{4}$ .

Observati ca mai sus numitorul l-am rescris astfel pentru a putea simplifica fractiile: $4^{1008}=\left(2^{2}\right)^{1008}=2^{2\cdot 1008}=2^{2016}$ , adica am folosit regulile de calcul cu puteri.

Iar la numaratori observati ca doi termeni sau redus.

Si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

Asadar este important ca la acest gen de exercitii sa ne uitam cu atentie inainte de a incepe sa le rezolvam si sa studiem toate posibilitatile pe care le avem, astfel incat sa o alegem pe cea mai corecta si cea mai usoara.

Prezentam trei probleme care se rezolva cu ajutorul fractiilor zecimale, dar si cu fractii ordinare. Aceste probleme joaca un rol important in viata de zi cu zi deci este important sa stim sa le rezolvam.

1) Intr-o familie se consuma dimineata 3 pe 4 dintr-o paine, la amiaza 5 pe 4 si seara o paine. Cate paini consuma zilnic aceasta familie?

Solutie :

Notam cu x painea.

Stim ca in prima zi familia consuma $\frac{3}{4}\cdot x$ dintr-0 paine, adica 0,75 dintr-o paine, deci gasim ca consuma trei sferturi dintr-o paine.

La amiaza $\frac{5}{4}\cdot x$ , adica 1,25; deci gasim ca consuma o paine si un sfert din cea de-a doua.

Deci zilnic familia consuma :

$\frac{3}{4}\cdot x+\frac{5}{4}x+x=\frac{3x+5x}{4}+x=\frac{8x}{4}+x=2x+x=3x$

Sau cu fractii zecimale avem ca :

$0,75+1,25+1=3\;\; paini$ .

Deci astfel gasim ca familia consuma zilnic 3 paini.

2) Mama a cuparat de la piata 1 pe 2 kg de cartofi, 3 pe 4 kg de ceapa si 1intreg si 1 pe 2 kg de rosii. Cantaresc legumele cumparate 5 kg?

Solutie

Stim ca mama a cumparat de la piata $\frac{1}{2}$ Kg cartofi, $1\frac{1}{2}$ Kg rosii.

Cartofii+rosiile= $\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1\cdot 2+1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}=2$

Deci in total legumele cantaresc 2 Kg

Sau cu ajutorul fractiilor zecimale avem:

$\frac{1}{2}=0,5$ Kg cartofi

$1\frac{1}{2}=1,5$ Kg rosii

Deci :Rosii+cartofi= $0,5+1,5=2,0=2$ Kg legume

Deci mama cumpara de la piata 2 Kg de legume, astfel legumele cumparate cantaresc mai putin de 5 Kg.

3) Cristina are de rezolvat un numar de probleme in 3 zile. In prima zi a rezolvat 3 pe 9 din intreg numarul de probleme, a doua zi 3 pe 9 din numarul total de probleme, iar a treia zi 3 pe 9 din toate problemele pe care le avea de rezolvat. A terminat Cristina problemele pe care le avea de rezolvat in cele 3 zile?

Solutie:

Notam cu x numarul de probleme

In prima zi a rezolvat $\frac{3}{9}\cdot x$

A doua zi a rezolvat $\frac{3}{9}\cdot x$

A treia zi a rezolvat $\frac{3}{9}\cdot x$

Astfel in cele trei zile a rezolvat :

$\left( \frac{3x}{9}+\frac{3x}{9}+\frac{3x}{9}\right)=\frac{3x+3x+3x}{9}=x-\frac{9x}{9}^{(9}=x$

Astfel din numarul de probleme, in prima zi a rezolvat $\frac{3}{9}\cdot x$ , a doua zi a rezolvat $\frac{3}{9}$ din numarul total de probleme, iar in a treia zi $\frac{3}{9}$ din toate problemele pe care avea sa le rezolve.

Astfel din numarul total de probleme scadem rezultatul pe care l-am gasit mai sus, adica $x-x=0$

Deci Cristina a terminat de rezolvat problemele in cele trei zile.

Astfel din numarul intreg de probleme x, scadem numarul problemelor pe care le-a rezolvat in fiecare zi.

Observati ca prima data in paranteza am efectuat calculele, avand acelasi numitor am copiat numitorul si am adunat numaratorii,apoi observati ca am obtinut $\frac{9x}{9}$ pe care am simplificat-o prin 9, iar apoi din numarul intreg de probleme am scazut rezultatul pe care l-am gasit, astfel gasim ca Cristina a rezolvat toate problemele in toate cele trei zile.

Mate Pedia

Ne place matematica !

adunarea fractiilor ordinare

Exercitii rezolvate cu sume de fractii

Probleme rezolvate cu fractii ordinare si zecimale