conditia ca o lege de compozitie sa fie asociativa

Morfisme de grupuri

Publicat în de MATEPEDIA

Dupa ce am introdus notiunea de grup apare o notiune noua si anume notiunea de morfisme de grupuri.

Dar de ce introducem si notiunea de morfism de grup?

Raspunsul este simplu:

Proprietatile algebrice ale elementelor unui grup sunt cele descrise in lista axiomelor grupului sau consecinte ale axiomelor.

Dar exista si grupuri ale caror elemente au proprietati algebrice asemanatoare pe care le putem identifica printr-o functie, adica acele elemente care se comporta la fel.

Iar aceasta functie va fi numita morfism (izomorfism, automorfism). Adica studiul unui grup poate sa ne furnizeze informatii si asupra unui alt grup, daca intre aceste structuri a fost stabilit un morfism.

Astfel definim notiunea de morfism de grup:

Definitie. Fie grupurile \left(G, \circ\right) si \left(G^{'}, *\right).  Functia f:G\rightarrow G^{'} (nu obligatoriu bijectiva) se numeste morfism de grupuri daca

– f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)

 

Iar pentru ca grupul sa fie izomorfism de grupuri avem definitia:

Definitie: Fie \left(G,\circ \right) si \left(G^{'}, *\right) doua grupuri.

O functie f:G\rightarrow G^{'} se numeste izomorfism de grupuri daca:

– f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)

, pentru  \forall x, y\in G

– f este bijectiva, pentru cei care nu mai stiu care sunt conditiile ca o functie sa fie bijectiva click aici.

Spunem ca grupul G este izomorf cu grupul G’ si scriem G\approx G^{'} daca exista un izomorfism f:G\rightarrow G^{'}

In caz contrar spunem ca grupul G nu este izomorf cu grupul G’.

Aplicatii:

1. Pe multimea Z se considera legile de compozitie: x\circ y=x+y+1 si x*y=ax+by-1, a,b\in Z si functia f\left(x\right)=x+2

a) Sa se demonstreze ca x\circ \left(-1\right)=\left(-1\right)\circ x=x, oricare ar fi x\in Z.

b) Sa se determine latex a, b\in Z$ pentru care legea de compozitie este * este asociativa

c) Daca a=b=1 sa se arate ca functia f este morfism intre grupurile \left(Z,\circ\right) si \left(Z, *\right)

Solutie:

a)  Calculam mai intai x\circ\left(-1\right)=x+\left(-1\right)+1=x-1+1=x

Deci se verifica.

Acum calculam: \left(-1\right)\circ x=\left(-1\right)+x+1=x

Deci am obtinut ca x\circ\left(-1\right)=x=\left(-1\right)\circ x

b) Acum pentru cea de-a doua lege de compozitie trebuie sa aflam a si b astfel incat legea sa fie asociativa, deci avem sa calculam x*\left(y*z\right)=\left(x*y\right)*z

Calculam mai intai: x*\left(y*z\right)=a\cdot x+b\cdot\left(y*z\right)-1=ax+b\cdot\left(ay+bz-1\right)-1=ax+aby+b^{2}z-b-1 dar si \left(x*y\right)*z=a\left(x*y\right)+bz-1=a\left(ax+by-1\right)+bz-1=a^{2}x+aby-a+bz-1=a^{2}x+aby+bz-a-1

Acum avem ca x*\left(y*z\right)=\left(x*y\right)*z\Rightarrow ax+aby+b^{2}z-b-1=a^{2}x+aby-a-1

Si astfel obtinem ca daca egalam coeficientii lui x si y a=a^{2}\Rightarrow a^{2}-a=0\Rightarrow a\left(a-1\right)=0\Rightarrow a=0 sau a=1,

Dar mai avem si b^{2}=b\Rightarrow b^{2}-b=0\Rightarrow b\left(b-1\right)=0\Rightarrow b=0

Sau b=1

Dar si -b-1=-a-1\Rightarrow -b=-a\Rightarrow b=a

Deci cu ultima relatie avem ca: a=b=0 sau a=b=1

c)  Acum pentru a=b=1 Obtine, legea de compozitie * devine x*y=x+y-1

Iar conditia ca sa existe un morfism de grupuri intre cele doua legi de compozitie este: f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)

Deci obtinem f\left(x\circ y\right)=x\circ y+2=x+y+1+2=x+y+3

Iar acum avem f\left(x\right)=x+2

Dar si f\left(y\right)=y+2

Dar cu legea de compozitie avem: f\left(x\right)*f\left(y\right)=\left(x+2\right)*\left(y+2\right)=x+2+y+2-1=x+y+4-1=x+y+3

Deci obtinem ca f\left(x\circ y\right)=f\left(x\right)*f\left(y\right)\Rightarrow x+y+3=x+y+3

De unde obtinem ca f este morfism de grupuri.