cum aflam termenul general al unei progresii aritmentice

Sa mai rezolvam niste probleme pentru dragii nostrii vizitatori.

1. David are un numar de jucarii. Triplul jumatatii acestui numar micsorat cu jumatatea jumatatii numarului respectiv devine 20. Cate jucarii are David?

Rezolvarea problemei:

Notam numarul jucariilor cu x
Si formam ecuatia: $3\cdot x\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot x=20$
Asadar avem ecuatia: $\frac{3x}{2}-\frac{x}{4}=20|\cdot 4\Rightarrow \frac{3x}{2}\cdot 4-\frac{x}{4}\cdot 4=20\cdot 4\Rightarrow 3x\cdot 2-x=80\Rightarrow 6x-x=80\Rightarrow 5x=80\Rightarrow x=80:5\Rightarrow x=16$
Deci numarul jucariilor lui David este 16.

Acum efectuam proba: $\frac{3x}{2}=\frac{3\cdot 16}{2}=\frac{48}{2}=48:2=24$ triplul jumatatii acestui numar
Micsorat cu jumatatea jumatatii numarului respectiv $24-\frac{1}{4}\cdot 16=24-\frac{16}{4}=24-16:4=24-4=20$ devine 20, ceea ce se verifica.

2. S = 8+11+14+…+44
Observam ca termenii sumei se afla in progresie aritmetica.
Ca sa calculam suma de mai sus folosim progresiile aritmetice:
Astfel avem ca: $a_{1}=8, a_{2}=11.... a_{n}=44$
Mai intai aflam ratia, astfel avem : $r=a_{2}-a_{1}=11-8=3$
Dar cu formula termenului general stim ca $a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 44=8+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=44-8\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=36\Rightarrow n-1=36:3\Rightarrow n-1=12\Rightarrow n=12+1\Rightarrow n=13$

Deci stim ca in suma avem 13 termenii, iar in progresie aritmetica suma primilor n termenii este $S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}$
Dar noi cum avem 13 termenii, obtinem $S_{13}=\frac{\left(a_{1}+a_{13}\right)\cdot 13}{2}=\frac{\left(8+44\right)\cdot 13}{2}=\frac{52\cdot 13}{2}=\frac{676}{2}=338$