exercitii rezolvate reguli de calcul cu radicali

Dupa ce am invatat cum sa extragem radicali, adica algoritmul de extragere a radicalilor si am aflat si radacina patrata a unui numar natural , astazi o sa invatam reguli de calcul cu radicali astfel:

Produsul radicalilor

Daca $a\geq 0$ si $b\geq 0$ , atunci $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ .

Consecinta $\left(\sqrt{a}\right)^{n}=\sqrt{a^{n}}, n\in N$ .

Stim deja ca $\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a$ pentru $a\in R$ .

Foarte importat sa stiti ca $\sqrt{a^{2}+b^{2}}\neq \sqrt{a^{2}}+\sqrt{^{2}}$ , deoarece majoritatea dintre voi faceti aceasta greseala.

Catul radicalilor

Oricare ar fi $a\geq 0, b>0$ , $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ .

Scoaterea factorilor de sub radical

Daca $n\geq 0, n=a^{2}b$ , atunci $\sqrt{n}=\sqrt{a^{2}\cdot b}=|a|\sqrt{b}$ , daca a>0 si $-a\sqrt{b}$ daca a<0

Stiati inca de la radacina patrata a unui numar natural ca $\sqrt{a^{2}}=|a|$ si cu produsul radicalilor am obtinut scoaterea factorilor de sub radical. Mai pe intelesul vostru scoatem de sub radical doar numerele, cifrele care au puterea a doua.

Exp:

$\sqrt{648}$

Dupa ce am descompus numarul in produs de numere prime, o sa scriem radicalul astfel

$\sqrt{648}=\sqrt{2\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3^{2}}=2\cdot 3\cdot 3\sqrt{2}=18\sqrt{2}$

Introducerea factorilor sub radical

Daca $b\geq 0$ , atunci $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$ daca a>0 si

$-a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}$ daca a<0

Exemplu:

$2\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}\\ -5\sqrt{3}=-\sqrt{5^{2}\cdot 3}=-\sqrt{25\cdot 3}=-\sqrt{75}$

Dupa cum bine observati introducerea factorilor sub radical este opusul scoaterea factorilor de sub radical, putem sa ne verificam daca am scos factori bine de sub radicali prin introducerea lor sub radicali astfel incat sa obtinem acelasi rezultat.

Exercitiu:

Comparati numerele:

a) $a=7\sqrt{15}$ si $b=15\sqrt{7}$

Ca sa comparam cele doua numere mai usor introducem factorii sub radicali astfel obtinem:

$a=\sqrt{7^{2}\cdot 15}=\sqrt{49\cdot 15}=\sqrt{735}$

$b=\sqrt{15^{2}\cdot 7}=\sqrt{225\cdot 7}=\sqrt{1575}$

Observam ca 753<1575, deci si $\sqrt{735}<\sqrt{1575}$

b) a=19 si $b=6\sqrt{10}$

Ca sa comparam aceste doua numere observam ca numarul a este natural, iar numarul b este numar irational si astfel scriem numarul 19 astfel :

$a= 19=\sqrt{19^{2}}=\sqrt{361}$

$b=\sqrt{6^{2}\cdot 10}=\sqrt{36\cdot 10}=\sqrt{360}$

La numarul b am introdus intregii in fractii asa cum am invatat si astfel obtinem radical din 360 si radical din 361.

Deci a>b.

2) Calculati

a) $\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^{2}}=|2-\sqrt{5}|+|3-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$

Ca sa rezolvam acest exercitiu am folosit faptul ca $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , iar dupa cum stiti $|a|=a$ daca a>0 si -a daca a<0, in cazul nostu $\sqrt{2-\sqrt{5}}=\sqrt{2-2,23}$ deci mai mic ca 0 si astfel ca sa calculam , comutam termenii si obtinem $\sqrt{5}-2$ , la cel de-al doilea radical avem $\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{3-2, 23}$ mai mare ca zero, deci nu mai inversam termenii . Apoi termenii asemenea s-au redus iar -2+3=1 ceea ce am obtinut.