proiectii ortogonale pe un plan

Dupa ce am invatat sa calculam unghiul a doua drepte in spatiu, unghiul dintre o dreapta si un plan a venit vremea sa discutam despre

Unghiul diedru Unghiul plan corespunzator unghiului diedru Unghiul a doua plane

Incepem cu Unghiul diedru

Definitie: Se numeste unghi diedru figura geometrica formata de doua semiplane marginite de aceeasi dreapta.

Dreapta comuna celor doua semiplane se numeste muchia diedrului, iar cele doua semiplane se numesc fetele diedrului.

Ca sa intelegeti mai bine notiunea de unghi diedru luati o foaie de hartie si indoiti acea foiae de hartie si astfel obtineti figura geometrica numita unghi diedru.

De exemplu ,cum e figura noastra de mai sus ganditi-va ca este o foaie de hartie pe care o indoim si obtinem unghiul diedru, astfel

Observatie: Unghiul diedru arata cat de inclinat este un plan fata de celalalt.

Definitie: Se numeste unghi plan asociat unghiului diedru, unghiul determinat de doua semidrepte continute respectiv in semiplanele ce formeaza diedrul, ambele avand originea pe mughia diedrului si fiind perepndicular pe acesta.

$\alpha\cap \beta=\left\{d\right\}$
$a\perp d, a\subset\alpha$
$b\perp d, b\subset\beta$
$a \cap b\cap d =\left\{M\right\}\Rightarrow m\left(\prec \left(a,b\right)\right)$ este unghiul plan al diedrului de muchie d.

Definitie: Se numeste masura unui unghi diedru masura unghiului plan asociat diedrului.

Observatie; Masura unui unghi diedru este cuprins intre $0^{0}$ si $180^{0}$ in cazul in care unghiul are masura de 0 grade, atunci unghiul se numeste unghi nul, in cazul in care masura unghiului este de $180^{0}$ atunci unghiul se numeste unghi plat.

Unghiul a doua plane

Defintie: Prin unghiul a doua plane (neparalele) intelegem unghiul format din doua drepte (continute in cele doua plane) care sunt perpendiculare pe dreapta de intersectie a planelor.

Observatie: Doua plane paralele formeaza intre ele un unghi cu masura de $0^{0}$ .

Masura unghiului a doua plane este este cuprinsa intre $0^{0}$ si $90^{0}$
Dupa ce am definit notiunea de unghi diedru dar si unghiul a doua plane, definim si notiunea de plane perpendiculare.
Definitie: Doua plane se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi diedru drept (unghiul plan asociat are masura de $90^{0}$ ).
Definim doua teoreme care ne ajuta sa demonstram perpendicularitatea a doua plane.
Teorema: Daca o drepta este peprendiculara pe un plan dat, atunci orice plan ce o contine este perpendicular pe planul dat.
Astfel
$d\perp \alpha$
si
$d\subset \beta\Rightarrow \beta \perp\alpha$
Teorema: Daca plane sunt perpendiculare, atunci orice perpendiculara dintr-un plan pe muchia comuna este perpendiculara si pe celalat plan.
Daca
$\alpha\perp \beta$
si $\alpha\cap\beta=\left\{g\right\}$
Si mai stim si ca $a\perp g, a\subset\alpha\Rightarrow a\perp \beta$
Problema rezolvata cu notiunile teoretice prezentate mai sus
Prisma triunghiulara regulata ABCA’B’C’, are AB=6 cm si AA’=3 cm.
Calculati
a) $m\left(\widehat{(A'BC);(ABC)}\right)$
Ca sa calculam masura unghiului dintre cele doua plane aflam mai intai intersectia celor doua plane, astfel avem ca:
$\left(A'BC\right)\cap\left(ABC\right)=\left\{BC\right\}$
Astfel construim perpendicularele din A’ pe BC si din A pe Bc

Observam ca
$AA'\perp\left(ABC\right)$
Dar si ca $AM\perp BC, AM\subset\left(ABC\right)$ . Rezulta cu teorema celor trei perpendiculare ca $A'M\perp BC$
Cum
$A'M\perp BC$ si $AM\perp BC$
Astfel avem unghiul
$m\left(\widehat{(A'BC);(ABC)}\right)=m\left(\widehat{A'M, AM}\right)=m\left(\widehat{AMA}\right)$
Ca sa aflam masura unghiului stim ca AA’=6 cm, mai stim si ca AM este inaltime in triunghiul echilateral ABC, astfel avem ca $AM=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{1}=3\sqrt{3}$
Acum stiind ca triunghiul A’MA este dreptunghic in A, aplicam functiile trigonometrice:
$\tan\widehat{A'MA}=\frac{AA'}{AM}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=30^{0}$
b) $m\left(\widehat{(A'BC), (AB'C')}\right)$
Fie N mijlocul segmentului [B’C’]
Se observa $AA'\perp\left(A'B'C'\right)$
Observam ca $A'N\perp B'C'$ , cu $A'N\subset\left(A'B'C'\right)$ , cu teorema celor trei perpendiculare obtinem $AN\perp B'C'$
Fie $A'C\cap AC'=\left\{P\right\}$ , dar $AB'\cap A'B=\left\{Q\right\}$

Deoarece ACC’A’ dreptunghi obtinem ca $[A'P]\equiv[PC]$ si $[AP]\equiv[PC']$ , dar si ABB’A’ dreptunghi obtinem si ca $[AQ]\equiv[QB']$ , dar si $[A'Q]\equiv[QB]$ . Astfel in triunghiul A’BC PQ este linie mijlocie, astfel $PQ=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3 cm$ . Dar si PQ||BC. Fie $A'M\cap PQ=\left\{T\right\}$
Astfel stiind ca $AN\perp BC$ obtinem ca si $AN\perp PQ, T\in [AN]$
Astfel $(A'BC)\cap(AB'C')=\left\{PQ\right\}$ stim ca
$AT\perp PQ, AT\subset\left(AB'C'\right)$ si $A'T\perp PQ, A'T\subset\left(A'BC\right)$ obtinem ca
$m\left(\widehat{(A'BC);(ABC)}\right)=m\left(\widehat{A'T, AT}\right)=m\left(\widehat{A'TA}\right)=60^{0}$

Observam ca AMNA’ este dreptunghi cu AA’=3 cm=MN si $AM=A'N=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
Acum aplicand teorema lui Pitagora in triunghiul AA’M obtinem:
$A'M^{2}=AM^{2}+A'A^{2}\Rightarrow A'M^{2}=\left(3\sqrt{3}\right)^{2}+3^{2}\Rightarrow A'M=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6\;\; cm$
Cum diagonalele intr-un dreptunghi sunt congrunete si se injumatatesc obtinem:
$A'T=TM=\frac{6}{2}=3 cm$ , dar si $AT=CT'=\frac{6}{2}=3 cm$
Observam ca $AT=A'T=AA'=3 cm$ astfel triunghiul AA’T este echilateral, deci masura unghiului dintre cele doua plane este de $60^{0}$

Mate Pedia

Ne place matematica !

proiectii ortogonale pe un plan

Unghiul diedru Unghiul a doua plane Plane perpendiculare