teorema lui menelaus

Teorema lui Menelaus ofera posibilitatea studierii coliniaritatii, astfel daca avem un triunghi ABC si o dreapta d care nu trece prin niciun varf al triunghiului ABC (dreapta care nu trece prin niciun varf al triunghiului se numeste transversala a triunghiului ABC) putem demonstra ca trei puncte sunt coliniare sau putem afla lungimea unor segmente..

Teorema. Fie triunghiul ABC si trei puncte $M\in BC, N\in CA, P\in AB$ , diferite de varfurile triunghiului ABC, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) punctele M, N, P sunt coliniare

b) Are loc relatia $\frac{MB}{MC}\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB}=1$

Astfel, cu teorema lui Menelaus, putem sa demonstram ca trei puncte sunt coliniare sau putem sa aflam si lungimea unor segmente.

Observam ca transversala care intersecteaza laturile triunghiului se poate afla in urmatoarele situatii:

transversala poate intersecta laturile triunghiului in doua puncte, iar al treilea punct se afla pe prelungirea laturii corespunzatoare(prima figura)
toate cele trei puncte ale transversalei se afla pe prelungirile laturilor triunghiului (figura doi)

Pentru a putea retine mai usor Teorema lui Menelaus, observam ca, pornim cu produsul rapoartelor de la prelungirea laturii pe care am construit-o si cu litera cu care am terminat primul raport (numitorul primei fractii) cu aceeasi litera se termina si numaratorul celui de-al doilea raport.

Dar teorema putem sa o folosim si pentru calculul vectorial, adica:

Teorema. Fie triunghiul ABC si trei puncte $M\in BC-\left\{A;B\right\}, N\in CA-\left\{C;A\right\}, P\in-\left\{A;B\right\}$ , diferite de varfurile triunghiului ABC, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) punctele M, N, P sunt coliniare

b) Are loc relatia $\frac{\vec{MB}}{\vec{MC}}\frac{\vec{NC}}{\vec{NA}}\cdot\frac{\vec{PA}}{\vec{PB}}=1$

Observam ca relatia din Teorema lui Menelaus se poate scrie incepand cu oricare dintre punctele M, N, P, adica

$\frac{\vec{PB}}{\vec{PA}}\cdot\frac{\vec{NA}}{\vec{NC}}\cdot\frac{\vec{MC}}{\vec{MB}}=1$ sau

$\frac{\vec{NA}}{\vec{NC}}\cdot\frac{\vec{MC}}{\vec{MB}}\cdot\frac{\vec{PB}}{\vec{PA}}=1$ .

Aplicatie!

Fie triunghiul ABC si $M\in [BC]$ astfel incat $BC=3\cdot MC$ , fie N, Q mijloacele segmentelor [AB] si [CN]. Aratati ca A, Q,M coliniare.

Demonstram coliniaritatea punctelor prin doua metode:

Mai intai folosim Teorema lui Menelaus in triunghiul BCN cu transversala AM.

Astfel observam din ipoteza problemei ca BC=3MC, astfel obtinem ca $BM+MC=BC\Rightarrow BM+MC=3\cdot MC\Rightarrow BM=2MC$ , astfel avem ca $\frac{AN}{AB}=\frac{1}{2}$ (N mijlocul segmentului [AB]).

Mai avem si ca $\frac{MB}{MC}=\frac{2MC}{MC}=2$ ., Dar si $\frac{QC}{QN}=\frac{\frac{CN}{2}}{\frac{CN}{2}}$ (Q mijlocul lui CN)

Astfel, aplicand reciproca Teoremei lui Menelaus, avem ca $\frac{AN}{AB}\cdot\frac{MB}{MC}\cdot\frac{QC}{QN}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$ , astfel obtinem ca A, Q, M coliniare.

Dar demonstrand vectorial obtinem:

$AQ=\alpha MQ$ (Stim ca trei puncte A,B, C sunt coliniare daca si numai daca exista $\alpha \in R$ astfel incat $\vec{AB}=\alpha\cdot \vec{AC}$ ).

Astfel, stim ca Q este mijlocul segmentului [CN], astfel folosind Vectorul de pozitie al mijlocului unui segment obtinem ca $\vec{AQ}=\frac{\vec{AN}+\vec{AC}}{2}$ , dar stim si ca N este mijlocul segmentului [AB], astfel avem ca

$\vec{AQ}=\frac{\frac{\vec{AB}}{2}+\vec{AC}}{2}\Rightarrow\vec{AQ}=\frac{1}{2}\left(\frac{\vec{AB}}{2}+\vec{AC}\right)\Rightarrow$
$\vec{AQ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{2}\Rightarrow$
$\vec{AQ}=\frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{4}$ (1)

Acum, aplicand regula triunghiului in triunghiul MCQ, avem ca $\Vec{MQ}=\Vec{MC}+\Vec{CQ}$

Stim ca $\Vec{BC}=\Vec{BM}+\Vec{MC}$ , astfel avem ca $\Vec{BC}=\Vec{BM}+\Vec{MC}$ , stim ca

$\vec{BM}=2\cdot\Vec{MC}$ , astfel obtinem ca

$\Vec{BC}=2\Vec{MC}+\Vec{MC}\Rightarrow\Vec{BC}=2\cdot\Vec{MC}\Rightarrow \vec{MC}=\frac{\vec{BC}}{3}$

Reluand relatia obtinem:

$\Vec{MQ}=\Vec{MC}+\Vec{CQ}\Rightarrow \Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{\vec{CN}}{2}$ , stim ca CN este mediana in triunghiul ABC, astfel aplicand din nou vectorul de pozitie al mijlocului unui segment obtinem $CN=\frac{1}{2}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)$

$\Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{\vec{CN}}{2}\Rightarrow \Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)\Rightarrow\Vec{MQ}=\frac{\vec{BC}}{3}+\frac{1}{4}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)$

Observam ca $\Vec{MQ}=\frac{\vec{-CB}}{3}+\frac{1}{4}\left(\vec{CB}+\vec{CA}\right)$ (vectorii sunt de sens opus)

Aducand la acelasi numitor obtinem:

$\vec{MQ}=\frac{4\vec{-CB}+3\vec{CB}+3\vec{CA}}{12}$ , astfel obtinem ca $\vec{MQ}=\frac{\vec{-CB}+3\vec{CA}}{12}\Rightarrow \vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(-\vec{CB}+3\vec{CA}\right)\Rightarrow\vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BC}+3\vec{CA}\right)$

Dar stim ca $\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}$

Astfel obtinem $\Vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BA}+\vec{AC}+3\vec{CA}\right)$

Adica:

$\Vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BA}+\vec{-CA}+3\vec{CA}\right) \Rightarrow\vec{MQ}=\frac{1}{12}\left(\vec{BA}+2\vec{CA}\right)\Rightarrow \vec{MQ}=\frac{-1}{12}\left(\vec{AB}+2\vec{AC}\right)$ (2)

Astfel din (1) si (2)obtinem ca $\vec{MQ}=\frac{-1}{3}\cdot\frac{\vec{AB}+2\vec{AC}}{4}$ , astfel obtinem $\vec{MQ}=\frac{-1}{3}\cdot\vec{AQ}$ , astfel punctele A,Q, M coliniare.

Mate Pedia

Ne place matematica !

teorema lui menelaus

Teorema lui Menelaus