triunghi isoscel

Asa cum am promis intr-un articol , o sa discutam si despre piramida triunghiulara si tetraedru.
Dupa cum am invatat la piramida patrulatera baza este un paralelogram (baza poate fi patrat, romb, dreptunghi), in cazul piramidei triunghiulare baza asa cum v-ati dat seama este un triunghi (echilatera, isoscel, dreptunghic), iar daca piramida este triunghiular regulata, baza este triunghi echilateral, iar pentru piramida patrulater regulata baza este patrat.

Def: Tetraedrul este determinat de patru puncte necoplanare, numite varfuri.
Reprezentare

Dupa cum am vorbit si la piramida patrulatera, vorbim si despre elementele componente:
-muchiile bazei: AB, AC, BC
-muchiile laterale: VA, VB, VB
-planul bazei (ABC)
-fetele laterale $\Delta VBC; \Delta VAC; \Delta VAB$
Aceleasi componente le avem si pentru piramida triunghiular regulata.
Diferenta dintre piramida triunghiular regulata si tetraedru este ca: tetraedrul are toate muchiile congruente, adica si muchiile bazei si muchiile laterale sunt congruente, deci fetele laterale si fetele bazei sunt triunghiuri echilaterale, iar la piramida triunghiular regulata baza este triunghi echilateral, iar fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, muchiile laterale sunt congruente.
La fel ca si la piramida patrulater regulata, piramida triunghiular regulata are si ea: apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea.
Def: Apotema piramidei triunghiulare este distanta de la varful piramidei la o muchie a bazei $a_{p}$
Apotema bazei piramidei triunghiulare este distanta de la centrul cercului circumscris bazei triunghiului echilateral la o muchie a bazei a sa $a_{b}$ .
Inaltimea intr-o piramida triunghiular regulata este distanta de la varful piramidei la punctul de intersectie al mediatoarelor (centrul cercului circumscris).

Problema
1) Piramida regulata VABC are baza triunghiular echilateral cu aria de $36\sqrt{3}$ . Daca $m(\prec VAB)=30^{0}$ , aflati aria triunghiului VAB.
Ip:
VABC piramida triunghiular regulata
$A_{\Delta ABC}=36\sqrt{3}$
$\\m(\prec VAB)=30^{0}$
Cl:
$A_{\Delta VAB}=?$
Dem:

Cum baza piramidei este triunghi echilateral si mai stim si aria sa, aflam latura triunghiului echilteral din aria triunghiului ABC, astfel stim din clasa a VII-a ca aria intr-un triunghi echilateral este $\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$ ,iar pentru triunghiul din problema noastra $A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 36\sqrt{3}\cdot 4=l^{2}\sqrt{3}\Rightarrow 36\cdot 4=l^{2}\Rightarrow l=\sqrt{36\cdot 4}\Rightarrow l=6\cdot 2 \Rightarrow l=12$ cm, in prima parte pentru a afla latura triunghiului echilateral am folosit proprietatea fundamentala a proportiilor ( intr-o proportie produsul mezilor este egal cu produsul extremilor). Dupa ce am aflat latura bazei piramidei si stim ca baza este triunghi echilateral rezulta ca piramida este triunghiular regulata , deci fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, stiind $m(\prec VAB)=30^{0}\;\; si\;\; \Delta VAB$ isoscel, constrim inaltimea VD, pentru a putea aplica Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ sau functiile trigonometrice, stim ca AD=6 cm, deoarece intr-un triunghiului isoscel medianele, mediatoarele, inaltimile corespunzatoare bazei coincid, deci la noi VD este si mediana, de unde aflam AD.

Daca aplicam Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ nu putem sa aflam nimic deoarece nu stim nici ipotenuza, nici cateta care se opune unghiului de $30^{0}$ , deci aplicam functiile trigonometrice
$cos 30^{0}=\frac{cat. alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{VA}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{VA}\Rightarrow VA\sqrt{3}=12\Rightarrow VA=\frac{12}{\sqrt{3}}\Rightarrow VA=\frac{12\sqrt{3}}{3}\Rightarrow VA=4\sqrt{3}$ cm.
Baza o stim, ca sa aflam aria trebuie sa mai aflam si inaltimea, astfel stiind VA, aplicam Teorema lui Pitagora pentru a afla inamtimea sau Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ , noi o sa aplicam Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ , iar voi incercati cu teorema lui Pitagora deci $VD=\frac{VA}{2}\Rightarrow VD=\frac{4\sqrt{3}}{2}\Rightarrow VD=2\sqrt{3}$ cm.
Deci aria triunghiului VAB este:
$A_{\Delta VAB}=\frac{baza \cdot h}{2}=\frac{AB\cdot VD}{2}=\frac{12\cdot 2\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$ cm.
Deci imprtant la aceste probleme sunt notiunile pe care le-am invatat pana acum.

Un rol important in clasa a VII-a o sa-l joace proprietatile triunghiului. Poate ati auzit ca ca anul acesta o sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Ca sa putem intelege aceste trei teoreme trebuie sa stim proprietatile triunghiului. Incepem prin a ne reaminti cum se rezolva problemele si teoria pe care o folosim o sa o enuntam.
1) In triunghiul ABC isoscel de baza BC, D mijlocul laturii AC, E mijlocul laturii AB , iar DE=12 cm si perimetrul triunghiului ABC este egal cu 88 cm.
Calculati masura laturilor congruente ale triunghiului isoscel ABC.
Ip:
$ \Delta ABC$ isoscel AB=AC
BC baza
$D\in AC$ a.i AD=DC
$E\in AB$ a.i AE=EB
$DE=12 cm$
$P_{\Delta ABC}=88 cm$
Cz:
$ AB=?; AC=? $
Dem:
$ P_{\Delta ABC}=88 cm$
$AB+AC+BC=88 cm$
$\\DE$ – linie mijlocie, atunci
$DE=\frac{1}{2}\cdot BC \Rightarrow 12 cm =\frac{1}{2}BC \Rightarrow BC=24 cm.$
$AB+AC+24=88 cm \Rightarrow AB+AC=88-24\Rightarrow AB+AC=64 cm $
Cum $ AB=AC\Rightarrow AB=AC=\frac{1}{2}\cdot 64\Rightarrow AB=AC=32 cm $
Important la problemele de geometrie sunt datele problemei pe care trebuie sa le inteledem deoarece o sa ne ajute la rezolvarea problemei.
De asemenea si figura este foarte important sa fie realizata corect.
In cazul nostru de fata stim ca D este mijlocul lui AC, iar E mijlocul lui AB.
Astfel daca ne reamintim din clasa a VI-a definitia liniei mijlocii(segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale uni triunghi se numeste linie mijlocie) si teorema care am invatat-o ( Orice linie mijlocie a unui triunghi:
– este paralela cu latura care nu are nici un punct in comun cu ea
– are lungimea egala cu jumatate din lungimea laturii paralela cu ea ). Ce aici obtine lungimea laturii BC=24 cm.
Cum stim ca perimetrul oricarei figuri geometrice este egal cu suma tuturor laturilor, obtinem $AB+AC=64 cm$ .
Stim de cand am invatat proprietatile triunghiului isoscel ca AB=AC (triunghiul isoscel are doua laturi egale) si atunci 64:2=32, deci AB=AC=32 cm.

Mate Pedia

Ne place matematica !

Piramida triunghiulara, tetraedrul: descriere si reprezentare

Recapitulare clasa a VII-a Proprietatile triunghiului