Pentru cei care va pregatiti pentru examenul de Bacalaureat asimptotele joaca un rol important, deci dupa ce am invatat sa calculam limitele unor functii, acum o sa invatam sa calculam asimptotele  functiilor  reale. Asimptotele sunt de trei tipuri:

asimptote orizontale

-asimptote oblice

-asimptote verticale

Incepem cu asimptote orizontale:

Fie f:R\rightarrow \left(0,+\infty\right), f\left(x\right)=a^{x}, a>0, a\neq 1 functia exponentiala cu baza ”a”.

Ca sa vedem daca avem asimptota orizontala calculam:

\lim\limits_{x\to+\infty}{f\left(x\right)} si daca obtinem un numar a, atunci y=a este asimptota orizontala spre +\infty a functiei f. Deci

Def: Dreapta y=a este asimptota orizontala spre +\infty a functiei “f” daca   \lim\limits_{x\to+\infty}{f\left(x\right)}=a\in R.

Dreapta y=a este asimptota orizontala spre -\infty a functiei “f” daca   \lim\limits_{x\to-\infty}{f\left(x\right)}=a\in R.

Problema asimptotelor orizontale pentru functia f:D\rightarrow R se pune numai la +\infty si -\infty si numai daca   +\infty sau -\infty sunt puncte de acumulare ale multimii D.

Exemplu:

Sa se determine asimptotele orizontale ale functiilor:

f:\left(1,+\infty\right)\Rightarrow, f\left(x\right)=\frac{\ln x}{1+\ln x}

In cazul functiei de mai sus calculam limita doar spre +\infty deoarece  acesta este punct de acumulare pentru D=\left(1,+\infty\right). Calculam limita

\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{\ln x}{1+\ln x}}=

\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{\ln x}{\ln x\left(\frac{1}{\ln x}+1\right)}}=1. Deci dreapta de ecuatie y=1 se numeste asimptota orizontala.

Asimptota oblica

De unde stim daca o asimptota este oblica?

Prima data vedem daca functia are asimptota orizontala, daca nu  are asimptota orizontala, verificam daca functia are asimptota oblica, daca are asiptote oblice calculam:
Teorema:

Fie f:D\rightarrow R

a) Daca \lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}=m\in R^{*} si n=\lim\limits_{x\to +\infty}{\left(f\left(x\right)-mx\right)} atunci dreapta y=mx+n este asimptota oblica spre +\infty si reciproc.

b)  Daca \lim\limits_{x\to-\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}=m\in R^{*} si n=\lim\limits_{x\to -\infty}{\left(f\left(x\right)-mx\right)} atunci dreapta y=mx+n este asimptota oblica spre -\infty si reciproc.
Asadar functia f:R-\left\{2\right\}\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x^{2}}{x-2}
Calculam
m=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{\frac{x^{2}}{x-2}}{x}}
\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{2}}{x\cdot\left(x-2\right)}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{2}}{x^{2}-2x}}=
\lim\limits_{x\to \infty}{\frac{x^{2}}{x^{2}\left(1-\frac{2}{x}\right)}^{(x^{2}}}
\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{1}{1}}=1\in R^{*}
Acum calculam
n=\lim\limits_{x\to\infty}{\left(f\left(x\right)-mx\right)}
n=\lim\limits_{x\to\infty}{\left(\frac{x^{2}}{x-2}-1\cdot x\right)}
n=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{2}}{x-2}-\left(x-2\right)\cdot x}
Dar si
n=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{2}-x^{2}+2x}{x-2}}
Astfel avem:
n=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{2x}{x-2}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{2x}{x\left(1-\frac{2}{x}\right)}^{(x}}
\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{2}{1-0}}=2
Asadar stim ca m=1 si n=2
Deci ecuatia dreptei este y=m\cdot x+n\Rightarrow y=1\cdot x+2\Rightarrow y=x+2

Asimptotele verticale

Def: Dreapta x=x_{0} este asimptota verticala a functiei f daca cel putin una dintre limitele laterale f\left(x_{0}-0\right) sau f\left(x_{0}+0\right) exista si este infinita.

Dreapta x=x_{0} este asimptota verticala a functiei f daca cel putin una dintre limitele laterale f\left(x_{0}-0\right) sau f\left(x_{0}+0\right) exista si este infinita.

 

Daca f\left(x_{0}+0\right)  este +\infty sau -\infty, dreapta x=x_{0} se numeste asimptota verticala spre stanga.

Daca f\left(x_{0}+0\right)  este +\infty sau -\infty, dreapta x=x_{0} se numeste asimptota verticala spre dreapta.

Daca limitele laterale ale functiei f in x_{0} sunt infinite, dreapta x_{0} se numeste asimptota verticala bilaterala.

Exemple:

1) Sa se determine asimptotele functiei  f:D\rightarrow R

a) \frac{x^{3}}{x^{2}-9}

Calculam mai intai domeniul de definitie si observam ca

x^{2}-9=0\Rightarrow x^{2}=9\Rightarrow x=\pm\sqrt{9}\Rightarrow x=\pm 3.

Deci D=\left\{-3, 3\right\}

Verificam mai intai daca functia are asimptota orizontala.

\lim\limits_{x\to \infty}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}=\infty

Deci functia nu are asimptota orizontala.

Daca nu are asimptota orizontala verificam daca functia are asimptota oblica, astfel calculam

m=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}=

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}{x}}=

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{3}}{x^{3}-x}}=

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{3}}{x^{3}\left(1-\frac{x}{x^{3}}\right)}}=1

Calculam acum

n=\lim\limits_{x\to\infty}{f\left(x\right)-mx}=

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}-x}=

 

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{9x}{x^{2}-9}}=

\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x\cdot 9}{x\left(x-\frac{9}{x}\right)}}=0

Calculam acum

y=mx+n\Rightarrow y=x+0\Rightarrow y=x este asimptota oblica.

Calculam acum asimptota verticala

Domeniul de definitie l-am calculat si am vazut ca

D=\left(-\infty, -3\right)\cup \left(-3, 3\right)\cup \left(3, \infty\right)

f\left(-3,-0\right)=\lim\limits_{x\to\-3}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}=\frac{-9}{9-9}=\frac{-9}{0}=-\infty

f\left(-3,+0\right)=\lim\limits_{x\to -3}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}=\frac{-9}{9-9}=\frac{-9}{0}=+\infty.

f\left(3,+0\right)=\lim\limits_{x\to 3}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}=\frac{9}{9-9}=\frac{9}{0}=-\infty.

f\left(33,+0\right)=\lim\limits_{x\to 3}{\frac{x^{3}}{x^{2}-9}}=\frac{9}{9-9}=\frac{-9}{0}=+\infty.

 

Rezulta ca dreptele x=-3 si x=3 sunt asimptote verticale bilaterale.