Ne place matematica !

Trunchiul de piramida regulata

Dupa ce am invatat sa calculam aria laterala, aria totala si volumul unei piramide a venit vremea sa invatam sa calculam aria laterala, aria totala si volumul la trunchiul de piramida regulata.

Astfel prin sectionarea unei piramide triunghiulare VABC cu planul (A’B’C’) paralel cu planul bazei (ABC)  se obtine o piramida VA’B’C’  asemenea cu piramida VABC.

Poliedrul obtinut prin indepartarea piramidei VA’B’C’ se numeste trunchiul de piramida triunghiular.

In cazul in care piramida initiala este regulata, trunchiul obtinut se numeste triunchi de piramida regulata.

Astfel pentru a calcula aria laterala intr-un trunchi de piramida regulata aplicam formula A_{l}=\frac{\left(P_{b}+P_{B}\right)\cdot a_{t}}{2}

Unde P_{b} este perimetrul bazei mici al trunchiului de piramida

P_{B} este perimetrul bazei mari a trunchiului de piramida

Observati ca acum avem doua baze, baza mare si baza mica, a trunchiului de piramida regulata.

a_{t} este apotema triunchiului  (reprezinta distanta dintre muchiile celor doua baze).

Acum A_{t}=A_{l}+A_{b}+A_{B} unde A_{b} este aria  bazei mici al trunchiului de piramida care se poate afla fie cu formulele pe care le stim in functie de ce baza avem, fie cu urmatoarea formula: A_{b}=\frac{P_{b}\cdot a_{b}}{2}, unde a_{b} este lungimea apotemei bazei  mici P_{B} este aria bazei mari a trunchiului de piramida, care se poate afla fie cu formulele pe care le stim in functie de ce baza avem, fie cu urmatoarea formula:

A_{B}=\frac{P_{B}\cdot a_{B}}{2}, unde a_{B} este lungimea apotemei bazei  mari

Acum sa enuntam formula pentru  volumul unui trunchi de piramida :

V=\frac{h}{3}\cdot\left(A_{B}+A_{b}+\sqrt{A_{B}\cdot A_{b}}\right)

unde h= inaltimea in trunchiul de piramida

Iar  apotema trunchiului putem sa o aflam cu formula:

a_{t}^{2}=h^{2}+\left(a_{B}-a_{b}\right)^{2}
trunghiul de piramida triunghulara regulata

Prezentam o problema prin care aplicam notiunile prezentate mai sus:

Un trunchi de piramida patrulatera regulata provine din piramida P si are V=\frac{608\sqrt{3}}{3}\;\; cm^{3},\;\; l=8\;\; cm\;\; h=2\sqrt{3}. Calculati:

a) lungimea laturii bazei mari

b) apotema trunchiului

c) aria laterala

d) Volumul piramidei intiale

Demonstratie:

cum aflam aria unui trunghi de pramida regulata

Stim volumul

Deci V=\frac{h}{3}\left(A_{B}+A_{b}+\sqrt{A_{b}\cdot A_{B}}\right)\Rightarrow
\frac{608\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(L^{2}+8^{2}\sqrt{8^{2}\cdot L^{2}}\right)\Rightarrow
\frac{608\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(L^{2}+64+8L\right)\Rightarrow
\frac{608\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{3}{2\sqrt{3}}=L^{2}+8L+64\Rightarrow 304=L^{2}+8L+64\Rightarrow L^{2}+8L-304+64=0\Rightarrow L^{2}+8L-240=0

Observam ca am obtinut o ecuatie de gradul al II-lea, deci calculam
\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=64-4\cdot a\cdot\left(-240\right)=64+960=1024

Acum L_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-8+\sqrt{1024}}{2\cdot 1}=\frac{-8+32}{2\cdot 1}=\frac{24}{2}=12\;\; cm

Iar L_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-8-\sqrt{1024}}{2\cdot 1}=\frac{-8-32}{2\cdot 1}=\frac{-40}{2}=-20\;\; cm

Si cum lungimea unui segment nu poate fi mai mica ca 0 rezulta ca L=12 cm.

b) Din formulele de mai sus a_{t}=h^{2}+\left(a_{B}-a_{b}\right)^{2}
In cazul figurii de mai sus MM’ este apotema trunchiului dar sa aflam
a_{B}=\frac{L}{2}\frac{12}{2}=6

Iar a_{b}=\frac{l}{2}=\frac{8}{2}=4 cm
Acum putem afla apotema trunchiului a_{t}^{2}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}+\left(6-4\right)^{2}\Rightarrow a_{t}^{2}=12+4\Rightarrow a_{t}=\sqrt{16}=4 cm

c) A_{l}=\frac{\left(P_{B}+P_{b}\right)\cdot a_{t}}{2}
Dar mai intai sa aflam perimetrul bazei mari
P_{B}=4\cdot L=4\cdot 12=48 cm
P_{b}=4\cdot l=4\cdot 8=32 cm

Astfel A_{l}=\frac{\left(48+32\right)\cdot 4}{2}=\frac{80\cdot 4}{2}=\frac{320}{2}=160\;\;\;cm^{2}

d) V_{P}= volumul piramidei V_{P}=\frac{A_{B}\cdot h_{piramida}}{3}
Dar noi nu stim inaltimea piramidei ,astfel avem: VABCD\sim VA''B'C'D'

Astfel au loc relatiile \frac{AB}{A'B'}=\frac{VO}{VO'}=\frac{VA}{VA'}
Din primele doua relatii obtinem \frac{12}{8}=\frac{VO'+OO'}{VO'}\Rightarrow \frac{3}{2}=\frac{VO'+2\sqrt{3}}{VO'}\Rightarrow 3VO'=2VO'+4\sqrt{3}\Rightarrow VO'=4\sqrt{3}

Astfel VO=VO'+OO'=4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}

Astfel V_{P}=\frac{144\cdot 6\sqrt{3}}{3}=\frac{144\cdot 2\sqrt{3}}{1}=288\sqrt{3}\;\; cm^{3}