Masura unghiurilor Masura arcelor Definitia cercului trigonometric

Dupa ce ne-am reamintit cum se rezolva triunghiul dreptunghic, a venit vremea sa discutam despre Masura unghiurilor Masura arcelor Definitia cercului trigonometric . Astfel Gradul sexagesimal reprezinta masura unghiului egala cu a 90-a parte dintr-un unghi drept. Masura in grade a unui arc de cerc este egala cu masura unghiului la centrul corespunzator. Astfel masura arcului de cerc AB este egala cu $m\left(\widehat{AOB}\right)$ Orice cerc are masura de $360^{0}$ .

Masura in radiani .Radianul reprezinta masura unui unghi la centru care subintinde un arc de cerc de lungime egala cu raza cercului.

Orice cerc are masura de $2\pi$ radiani. Suma masurii unghiurilor la centru este de $360^{0}$ . Daca un unghi A are masura in grade egala cu a, notam cu $m\left(\widehat{A}\right)=a^{0}$ si in radiani egala cu $m\left(\widehat{\mu}\right)=\alpha$ , legatura dintre masura in grade si masura in radiani este data de relatia: $\frac{a}{360}=\frac{\alpha}{2\pi}\Rightarrow \frac{a}{180}=\frac{\alpha}{\pi}$ . Deci $\alpha=\frac{\pi}{180}\cdot a$ .

Astfel invatam corespondenta dintre masura in grade sexagesimale si radiani a masurilor unor unghiuri uzuale: $0^{0}=0$ Stim ca $\frac{0}{180}=\frac{\alpha}{\pi}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi\cdot 0}{\alpha}=0$ Acum daca $a=30^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 30^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}$

Daca $a=45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}$ Daca $a=60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}$ Daca $a=90^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 90^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{2}$ Daca $a=120^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 120^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{2\pi}{3}$

Definitia cercului trigonometric

Fie xOy un reper cartezian in plan. Cercul de raza 1 si centru O pe care definim sensul pozitiv ca fiind sens contrar acelor de ceasornic se numeste cerc trigonometric.

Exercitii 1) Aflati masurile in radiani ale unghiurilor triunghiului ABC, daca: $m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)$

Stim ca in triunghiul ABC toate unghiurile au masura egala, stim ca suma masurii unghiurilor intr-un triunghi este de $180^{0}$ . Astfel notam $m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=x^{0}$ $m\left(\widehat A\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow x^{0}+x^{0}+x^{0}=180^{0}\Rightarrow 3x^{0}=180^{0}\Rightarrow x=60^{0}$ .

Deci avem $m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=60^{0}$ . Acum sa transformam in radiani.

Conform formulei de mai sus care am dedus-o avem: $\alpha=\frac{\pi}{180}\cdot a\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}$ . Astfel am gasit ca $m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=\frac{\pi}{3}$ . b) $m\left(\widehat{A}\right)=45^{0}, m\left(\widehat {B}\right)=\frac{\pi}{3}$ .

Astfel putm scrie ca masura unghiului A, daca transformam in radiani este de $\alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}$ .Deci $m\left(\widehat{A}\right)=\frac{\pi}{4}$ Acum sa transformam si $180^{0}$ in radiani si gasim ca $\alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 180^{0}\Rightarrow \alpha=\pi$ Deci $m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=\pi\Rightarrow \\\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+m\left(\widehat{C}\right)=\pi\Rightarrow \\m\left(\widehat{C}\right)=\pi-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\Rightarrow \\m\left(\widehat{C}\right)=\frac{12\pi-3\pi-4\pi}{12}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=\frac{5\pi}{12}$ 2)

Specificati in ce cadran trigonometric sunt situate unghiurile cu masurile: a) $40^{0}$ , acest unghi se afla in cadranul I, deoarece $\alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 40\Rightarrow \alpha=\frac{40\pi}{180}^{(20}\Rightarrow \alpha=\frac{2\pi}{9}$ b) $80^{0}$ , la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece $\alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 80=\frac{80\pi}{180}^{(20}=\frac{4\pi}{9}$ . c) $300^{0}$ , la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece $\alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 300=\frac{300\pi}{180}^{(30}=\frac{10\pi}{6}^{(2}=\frac{5\pi}{3}$ . d) $160^{0}$ , la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece $\alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 160=\frac{160\pi}{180}^{(20}=\frac{8\pi}{9}$ .

Deoarece dupa cum bine se observa si din figura de mai sus avem: – Cadranul I $x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ – Cadranul II $x\in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ – Cadranul III $x\in \left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ – Cadranul IV $x\in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ Iar daca nu vrem in radiani avem astfel – Cadranul I $x\in \left(0,90^{0}\right)$ – Cadranul II $x\in \left(90^{0}, 180^{0}\right)$ – Cadranul III $x\in \left(180^{0}, 270^{0}\right)$ – Cadranul IV $x\in \left(270^{0}, 360^{0}\right)$ Astfel cu ajutorul cercului trigonometric avem:

Masura unghiurilor Masura arcelor Definitia cercului trigonometric

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii