Dupa ce ne-am reamintit  cum se rezolva triunghiul dreptunghic, a venit vremea sa discutam despre Masura unghiurilor Masura arcelor Definitia cercului trigonometric . Astfel Gradul sexagesimal reprezinta masura unghiului egala cu a 90-a parte dintr-un unghi drept. Masura in grade a unui arc de cerc este egala cu masura unghiului la centrul corespunzator. masura in grade a unui arc de cercAstfel masura arcului de cerc AB este egala cu m\left(\widehat{AOB}\right) Orice cerc are masura de 360^{0}.

Masura in radiani .Radianul reprezinta masura unui unghi la centru care subintinde un arc de cerc de lungime egala cu raza cercului.

Orice cerc are masura de 2\pi radiani. Suma masurii unghiurilor la centru este de 360^{0}. Daca un unghi A are masura in grade egala cu a, notam cu m\left(\widehat{A}\right)=a^{0} si in radiani egala cu m\left(\widehat{\mu}\right)=\alpha, legatura dintre masura in grade si masura in radiani este data de relatia: \frac{a}{360}=\frac{\alpha}{2\pi}\Rightarrow \frac{a}{180}=\frac{\alpha}{\pi}. Deci \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot a.

Astfel invatam corespondenta dintre masura in grade sexagesimale si radiani a masurilor unor unghiuri uzuale: 0^{0}=0 Stim ca \frac{0}{180}=\frac{\alpha}{\pi}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi\cdot 0}{\alpha}=0 Acum daca a=30^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 30^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}

Daca a=45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4} Daca a=60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3} Daca a=90^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 90^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{2} Daca a=120^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 120^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{2\pi}{3}

Definitia cercului trigonometric

Fie xOy un reper cartezian in plan. Cercul de raza 1 si centru O pe care definim sensul pozitiv ca fiind sens contrar acelor de ceasornic se numeste cerc trigonometric.

Definitia cercului trigonometric

Exercitii 1) Aflati masurile in radiani ale unghiurilor triunghiului ABC, daca: m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)

Stim ca in triunghiul ABC toate unghiurile au masura egala, stim ca suma masurii unghiurilor intr-un triunghi este de 180^{0}. Astfel notam m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=x^{0} m\left(\widehat A\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow x^{0}+x^{0}+x^{0}=180^{0}\Rightarrow 3x^{0}=180^{0}\Rightarrow x=60^{0}.

Deci avem m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=60^{0}. Acum sa transformam in radiani.

Conform formulei de mai sus care am dedus-o avem: \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot a\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}. Astfel am gasit ca m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=\frac{\pi}{3}. b) m\left(\widehat{A}\right)=45^{0}, m\left(\widehat {B}\right)=\frac{\pi}{3}.

Astfel putm scrie ca masura unghiului A, daca transformam in radiani este de \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}.Deci m\left(\widehat{A}\right)=\frac{\pi}{4} Acum sa transformam si 180^{0} in radiani si gasim ca \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 180^{0}\Rightarrow \alpha=\pi Deci m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=\pi\Rightarrow \\\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+m\left(\widehat{C}\right)=\pi\Rightarrow \\m\left(\widehat{C}\right)=\pi-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\Rightarrow \\m\left(\widehat{C}\right)=\frac{12\pi-3\pi-4\pi}{12}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=\frac{5\pi}{12} 2)

Specificati in ce cadran trigonometric sunt situate unghiurile cu masurile: a) 40^{0}, acest unghi se afla in cadranul I, deoarece \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 40\Rightarrow \alpha=\frac{40\pi}{180}^{(20}\Rightarrow \alpha=\frac{2\pi}{9} b) 80^{0}, la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 80=\frac{80\pi}{180}^{(20}=\frac{4\pi}{9}. c) 300^{0}, la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 300=\frac{300\pi}{180}^{(30}=\frac{10\pi}{6}^{(2}=\frac{5\pi}{3}. d) 160^{0}, la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 160=\frac{160\pi}{180}^{(20}=\frac{8\pi}{9}.

Deoarece dupa cum bine se observa si din figura de mai sus avem: – Cadranul I x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) – Cadranul II x\in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) – Cadranul III x\in \left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right) – Cadranul IV x\in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) Iar daca nu vrem in radiani avem astfel – Cadranul I x\in \left(0,90^{0}\right) – Cadranul II x\in \left(90^{0}, 180^{0}\right) – Cadranul III x\in \left(180^{0}, 270^{0}\right) – Cadranul IV x\in \left(270^{0}, 360^{0}\right) Astfel cu ajutorul cercului trigonometric avem: Definitia cercului trigonometric

Faci un comentariu sau dai un răspuns?