Dupa ce ne-am reamintit  cum se rezolva triunghiul dreptunghic, a venit vremea sa discutam despre Masura unghiurilor Masura arcelor Definitia cercului trigonometric . Astfel Gradul sexagesimal reprezinta masura unghiului egala cu a 90-a parte dintr-un unghi drept. Masura in grade a unui arc de cerc este egala cu masura unghiului la centrul corespunzator. Astfel masura arcului de cerc AB este egala cu $latex m\left(\widehat{AOB}\right)$ Orice cerc are masura de $latex 360^{0}$.

Masura in radiani .Radianul reprezinta masura unui unghi la centru care subintinde un arc de cerc de lungime egala cu raza cercului.

Orice cerc are masura de $latex 2\pi$ radiani. Suma masurii unghiurilor la centru este de $latex 360^{0}$. Daca un unghi A are masura in grade egala cu a, notam cu $latex m\left(\widehat{A}\right)=a^{0}$ si in radiani egala cu $latex m\left(\widehat{\mu}\right)=\alpha$, legatura dintre masura in grade si masura in radiani este data de relatia: $latex \frac{a}{360}=\frac{\alpha}{2\pi}\Rightarrow \frac{a}{180}=\frac{\alpha}{\pi}$. Deci $latex \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot a$.

Astfel invatam corespondenta dintre masura in grade sexagesimale si radiani a masurilor unor unghiuri uzuale: $latex 0^{0}=0$ Stim ca $latex \frac{0}{180}=\frac{\alpha}{\pi}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi\cdot 0}{\alpha}=0$ Acum daca $latex a=30^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 30^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}$

Daca $latex a=45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}$ Daca $latex a=60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}$ Daca $latex a=90^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 90^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{2}$ Daca $latex a=120^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 120^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{2\pi}{3}$

Definitia cercului trigonometric

Fie xOy un reper cartezian in plan. Cercul de raza 1 si centru O pe care definim sensul pozitiv ca fiind sens contrar acelor de ceasornic se numeste cerc trigonometric.

Exercitii 1) Aflati masurile in radiani ale unghiurilor triunghiului ABC, daca: $latex m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)$

Stim ca in triunghiul ABC toate unghiurile au masura egala, stim ca suma masurii unghiurilor intr-un triunghi este de $latex 180^{0}$. Astfel notam $latex m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=x^{0}$ $latex m\left(\widehat A\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}\Rightarrow x^{0}+x^{0}+x^{0}=180^{0}\Rightarrow 3x^{0}=180^{0}\Rightarrow x=60^{0}$.

Deci avem $latex m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=60^{0}$. Acum sa transformam in radiani.

Conform formulei de mai sus care am dedus-o avem: $latex \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot a\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 60^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}$. Astfel am gasit ca $latex m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=\frac{\pi}{3}$. b) $latex m\left(\widehat{A}\right)=45^{0}, m\left(\widehat {B}\right)=\frac{\pi}{3}$.

Astfel putm scrie ca masura unghiului A, daca transformam in radiani este de $latex \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 45^{0}\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}$.Deci $latex m\left(\widehat{A}\right)=\frac{\pi}{4}$ Acum sa transformam si $latex 180^{0}$ in radiani si gasim ca $latex \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 180^{0}\Rightarrow \alpha=\pi$ Deci $latex m\left(\widehat{A}\right)+m\left(\widehat{B}\right)+m\left(\widehat{C}\right)=\pi\Rightarrow \\\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+m\left(\widehat{C}\right)=\pi\Rightarrow \\m\left(\widehat{C}\right)=\pi-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\Rightarrow \\m\left(\widehat{C}\right)=\frac{12\pi-3\pi-4\pi}{12}\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=\frac{5\pi}{12}$ 2)

Specificati in ce cadran trigonometric sunt situate unghiurile cu masurile: a) $latex 40^{0}$, acest unghi se afla in cadranul I, deoarece $latex \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 40\Rightarrow \alpha=\frac{40\pi}{180}^{(20}\Rightarrow \alpha=\frac{2\pi}{9}$ b) $latex 80^{0}$, la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece $latex \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 80=\frac{80\pi}{180}^{(20}=\frac{4\pi}{9}$. c) $latex 300^{0}$, la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece $latex \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 300=\frac{300\pi}{180}^{(30}=\frac{10\pi}{6}^{(2}=\frac{5\pi}{3}$. d) $latex 160^{0}$, la fel acest unghi se afla de asemenea in cadranul I, deoarece $latex \alpha=\frac{\pi}{180}\cdot 160=\frac{160\pi}{180}^{(20}=\frac{8\pi}{9}$.

Deoarece dupa cum bine se observa si din figura de mai sus avem: – Cadranul I $latex x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ – Cadranul II $latex x\in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ – Cadranul III $latex x\in \left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ – Cadranul IV $latex x\in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ Iar daca nu vrem in radiani avem astfel – Cadranul I $latex x\in \left(0,90^{0}\right)$ – Cadranul II $latex x\in \left(90^{0}, 180^{0}\right)$ – Cadranul III $latex x\in \left(180^{0}, 270^{0}\right)$ – Cadranul IV $latex x\in \left(270^{0}, 360^{0}\right)$ Astfel cu ajutorul cercului trigonometric avem: