Aria poligoanelor studiate

Dupa cum bine stiti pana acum am discutat despre aria triunghiului, unde am invatat formlula de baza pentru un triunghi oarecare, dar si aria paralelogramului, aria dreptunghiului, aria rombului si aria patratului.
Astazi o sa discutam despre Aria poligoanelor studiate.
Incepem prin a defini o noua formula pentru aria triunghiului, nu de mult am invatat si functiile trigonometrice, din acest motiv acesta formula are legatura cu notiunile trigonometrice.
Astfel aria triunghiului se poate calcula cu formulele:

$A_{\Delta ABC}=\frac{baza\cdot h}{2}=\frac{BC\cdot AA'}{2}$
Deci aria triunghiului este egala cu semiprodusul dintre baza si inaltimea corespunzatoare bazei.

Dar mai exista si alta formula pentru aria unui triunghi, astfel daca stim intr-un triunghi oarecare doua laturi si unghiul format de cele doua laturi aplicam formula:
$A_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin BAC}{2}=\frac{a\cdot b\cdot \sin A}{2}$
Sau
$A_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot \sin ABC}{2}=\frac{a\cdot c\cdot \sin B}{2}$
Sau
$A_{\Delta ABC}=\frac{AC\cdot BC\cdot \sin BCA}{2}=\frac{c\cdot b\cdot \sin A}{2}$
Daca un triunghi ABC este dreptunghic aplicam formula
$A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}$ , unde $c_{1}, c_{2}$ sunt catetele triunghiului dreptunghic.

Daca triunghiul ABC este echilateral aplicam formula $A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$ , unde l este latura triunghiului.
Problema:
1) Fie ABC un triunghi isocel de baza BC=16 cm si inaltimea AD=6 cm. Calculati suma lungilor inaltimilor triunghiului.
Demonstratie:

Triunghiul ABC este isoscel de baza BC, cum stim baza, dar si inaltimea, putem afla lungimea segmentelor BD si DC, deoarece conform proprietatilor pentru triunghiul isocel, mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea corespunzatoare bazei coincid, deci AD este si mediana si astfel gasim ca

$BD=DC=\frac{BC}{2}=\frac{16}{2}=8 cm$

Acum in triunghiul ABD putem aplica Teorema lui Pitagora, astfel avem:
$AB^{2}=BD^{2}+DA^{2}\Rightarrow AB^{2}=8^{2}+6^{2}\Rightarrow AB^{2}=6+4+36\Rightarrow AB=\sqrt{100}=10 cm$
Cum AB=10 cm, gasim si ca AC=10 cm.
Acum sa aflam lungimea inaltimii BE, dusa din varful unghiului B pe latura opusa AC, astfel daca aflam aria triunghiului ABC de baza BC, gasim ca:
$A_{\Delta BAC}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{16\cdot 6}{2}=\frac{8\cdot 6}{1}=48 cm^{2}$
Acum daca calculam aria triunghiului ABC de baza AC gasim ca:
$A_{\Delta ABC}=\frac{AC\cdot BE}{2}=\frac{10\cdot BE}{2}=5\cdot BE$
Acum daca egalam cele doua arii care le-am gasit obtinem ca:
$A_{\Delta BAC}=A_{\Delta ABC}\Rightarrow 48=5\cdot BE\Rightarrow BE=48:5\Rightarrow BE=9,6$

Acum daca calculam lungimea inaltimii CF, la fel ca mai sus, gasim ca CF=9,6 cm
Astfel suma lungimi inaltimilor triunghiului este
6+9,6+9,6=25,2 cm

2) Fie ABCD un trapez dreptunghic cu $m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{D}\right)=90^{0}, AB=8 cm, BC=5 cm$ si CD=12 cm
Calculati aria trapezului

Demonstratie:
Ca sa aflam aria trapezului trebuie sa aflam inaltimea tapezului, astfel construim perpendiculara din B pe CD, astfel incat AD=BE, mai stim si ca AB=BE=8 cm, deci putem afla CE=CD-BE=12-8=4 cm
Deci in triunghiul dreptunghic BEC aplicam Teorema lui Pitagora
$BE^{2}=BC^{2}-CE^{2}\Rightarrow BE^{2}=25-16\Rightarrow BE=\sqrt{9}=3 cm$
Deci inaltimea trapezului este de 3 cm

Acum sa aflam aria trapezului
$A_{\Delta ABCD}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h_{trapez}}{2}=\frac{\left(AB+CD\right)\cdot AD}{2}=\frac{\left(8+12\right)\cdot 3}{2}=\frac{20\cdot 3}{2}=\frac{60}{2}=30\;\;cm^{2}$

Aria poligoanelor studiate

Recente

Categorii