Despre bisectoarea unui unghi am mai invatat si in primul semestru la capitolul Unghi. Dar acum discutam si de proprietatea bisectoarei, cat si despre concurenta bisectoarelor intr-un triunghi, deoarece dupa cum am mai spus si intr-un alt articol, bisectoarea este una din liniile importante intr-un triunghi.
Astfel reamintindu-ne definitia bisectoarei spunem ca:
Definitie: Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, interioara unghiului si care care imparte unghiul in doua unghiuri.
Proprietatile bisectoarei:
Un punct interior unui unghi este situat la egala distanta de laturile unghiului daca si numai daca apartine bisectoarei acelui unghi.
Avem in ipoteza [OZ bisectoare unghiului $latex \widehat{XOY}$
$latex M\in [OZ$
Concluzie: $latex d(M, OX)=d(M, OY)$
Astfel stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe drepata respectiva.
Stim ca [OZ este bisectoarea unghiului $latex \widehat{XOY}$, astfel avem:
$latex \widehat{XOZ}\equiv\widehat{YOZ}$
Mai stim si ca $latex MA\perp[OX, A\in [OX\Rightarrow d\left(M, OX\right)=MA$
Dar si $latex MB\perp[OY, B\in [OY\Rightarrow d\left(M, OY\right)=MB$
Iar in triunghiurile MAO si MBO, avem $latex m\left(\widehat{MAO}\right)=m\left(\widehat{MBO}\right)=90^{0}$, adica avem triunghiuri dreptunghice.
Mai stim si ca $latex [MO]\equiv[MO]$(latura comuna)
Dar si $latex \widehat{MOA}\equiv\widehat{MOB}$
Deci cu cazul de congruenta de la triunghiurile dreptunghice I.U, avem ca
$latex \Delta MAO\equiv\Delta MBO$ de unde obtinem ca $latex [MA]\equiv[MB]$, adica $latex d(M, OX)=d(M, OY)$
Bisectoarea unui unghi este locul punctelor situate la egala distanta de laturile unui triunghi.
Teorema. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersectie al bisectoarelor este situat la distanta egala de laturile triunghiului se noteaza cu I. Punctul de concurenta al bisectoarelor se numeste centrul cercului inscris.
Centrul inscris in triunghi este cercul care este tangent la laturile triunghiului, adica are in comun un singur punct cu fiecare latura a triunghiului.
Observati ca AA’, BB’ si CC’ sunt bisectoare in triunghiul ABC, adica
– AA’ bisctoarea unghiului $latex \widehat{BAC}$
– BB’ bisctoarea unghiului $latex \widehat{ABC}$
– CC’ bisctoarea unghiului $latex \widehat{ACB}$
Iar punctul de intersectie il notam cu I, numit centrul cercului inscris.
Aplicatii:
In triunghiul $latex \Delta ABC$ avem: $latex D\in(BC), E\in(AC), F\in(AB)$ astfel incat $latex AD\perp BC, \widehat{ABE}\equiv\widehat{CBE}, \widehat{ACF}\equiv\widehat{BCF}, BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}$. Aratati ca $latex [AB]\equiv[AC]$
Demonstratie:
Observam ca [BE si [CF sunt bisectoarele unghiurilor $latex \widehat{ABC}, \widehat{ACB}$ dar si $latex BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}$, atunci obtinem si ca [AD este bisectoarea unghiului $latex \widehat{BAC}$, adica obtinem ca:
$latex \widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}$
Astfel consideram triunghiurile: $latex \Delta BAD$ si $latex \Delta CAD$
unde am gasit ca:
$latex \widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}$
$latex [AD]\equiv[AD]$ (latura comuna)
Dar si $latex \widehat{BDA}\equiv\widehat{CDA}$ (deoarece $latex AD\perp BC$, adica formeaza un unghi de $latex 90^{0}$)
Si cu cazul de congruneta U.L.U, obtinem ca $latex \Delta BAD\equiv\Delta CAD$, de unde obtinem si ca $latex [AB]\equiv[AC]$ ceea ce trebuia sa demonstram.