Prezentam cateva probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor. Pentru cei care nu stiti care sunt etapele pe care trebuie sa le parcurgem in rezolvatea problemelor click aici

Sa se afle 4 nr. consecutive impare, stiind ca, daca la suma lor marita de 8 ori se adauga 280 ,se obtine 2008 .

Solutie:

Consideram numerele naturale  impare: n, n+2, n+4, n+6

Si formam ecuatia: \left(n+n+2+n+4+n+6\right)\cdot 8+280=2008

Iar acum rezolvam ecuatia mai sus formata:

\left(4n+12\right)\cdot 8=2008-280\Rightarrow \left(4n+12\right)\cdot 8=1728\Rightarrow 4n+12=1728:8\Rightarrow 4n+12=216\Rightarrow 4n=216-12\Rightarrow 4n=204\Rightarrow n=204:4\Rightarrow n=51

Deci primul numar impar este 51, cel de-al doilea este n+2=51+2=53

Cel de-al treilea numar este n+4=51+4=55

Iar cel de=al patrulea n+6=51-6=57

Asadar numerele impare consecutive sunt 51; 53; 55; 57

 2. Consideram numerele in baza zece \bar{abc}\;\; \bar{cba}in care stim ca diferenta dintre numarul initial si rasturantul sau este 297, stiind ca b=3, aflati a si c.

Solutie: abc-cba=297,

Rescriind ecuatia  de mai sus obtinem: 100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c-\left(c\cdot 100+10\cdot b+1\cdot a\right)=297

Stiind ca b=3 obtinem 100a+10\cdot 3+c-100c-10\cdot 3-a=297\Rightarrow 99a+30-99c-30=297\Rightarrow 99a-99c=297\Rightarrow 99\left(a-c\right)=297\Rightarrow a-c=297:99\Rightarrow a-c=3

Deci diferenta dintre primul numar si ultimul este 3, dar trebuie sa tinem cont si de faptul ca a, c\neq 0, dar si a<c

Pentru a=4, obtinem 4-c=3\Rightarrow 4-3=c\Rightarrow c=1

Asadar obtinem numarul 431

Iar rasturnatul sau este 134

Acum sa vedem daca se verifica 431-134=297

Deci se verifica.

Pentru a=5, obtinem 5-c=3\Rightarrow c=5-3=2

Si numarul gasit este 532 si rasturnatul sau este 235

La fel ca mai sus efectuam scaderea pentru a vedea daca se verifica 532-235=297

Deci se verifica.

Si asa mai departe pentru a=6, 7, 8, 9

 3. Cu 6 ani in urma varsta ficei era egala cu 0,2 din varsta mamei iar peste 9 ani varsta ficei va fi 0,5 din varsta pe care o va avea mama. Cati ani are fiecare in prezent?

Solutie:

Notam cu x varsta fiicei si cu y varsta mamei, astfel formam ecuatiile: x-6=0,2\cdot\left(y-6\right) (Cu 6 ani in urma varsta ficei era egala cu 0,2 din varsta mamei).

x+9=0,5\cdot\left(y+9\right) ( peste 9 ani varsta ficei va fi 0,5 din varsta pe care o va avea mama)

Astfel am obtinut doua ecuatii pe care incercam sa le rezolvam x-6=0,2\left(y-6\right)\Rightarrow x=\frac{2}{10}\left(y-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\left(y-6\right)+6

Observati ca in prima ecuatie am scos necunoscuta x in functie de y pentru a putea inlocui in cea de-a doua ecuatie pentru a afla y, dar am transformat dintr-o fractie zecimala in fractie ordinara simplificand pe unde am putut, astfel inlocuind in cea de-a doua ecuatie obtinem: x+9=0,5\left(y+9\right)\Rightarrow \frac{1}{5}\left(y-6\right)+6+9=\frac{5}{10}\left(y+9\right)\Rightarrow \frac{1}{5}\left(y-6\right)+15=\frac{1}{2}\left(y+9\right)\Rightarrow ^{5)}\frac{y+9}{2}-^{2)}\frac{y-6}{5}=15\Rightarrow \frac{5\left(y+9\right)}{10}-\frac{2\left(y-6\right)}{10}=15\Rightarrow\frac{5y+45-2y+12}{10}=15\Rightarrow \frac{3y+57}{10}=15\Rightarrow 3y+57=150\Rightarrow 3y=150-57\Rightarrow 3y=93\Rightarrow y=93:3\Rightarrow y=31

Deci mama are 31 de ani, iar fiica: x=\frac{1}{5}\left(y-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\left(31-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\cdot 25+6\Rightarrow x=5+6=11

Asadar fiica are 11 ani.

 4. Trei frati au primit impreuna 130 de lei.dupa ce primul a cheltuit doua treimi din partea sa. Al doilea a cheltuit trei sferturi din partea sa, iar al treilea a cheltuit doua cincimi din partea sa. Cei trei frati au ramas cu suma egala de bani. Ce suma de bani exprimata in lei a primit fiecare dintre frati?
Solutie:
 Stim ca impreuna cei trei frati au 130 lei adica
– suma primului frate o notam cu x
-suma celui de-al   doilea frate cu y
– suma celui de-al treilea frate cu z
Astfel formam prima ecuatie:
x+y+z=130
 – x-\frac{2}{3}\cdot x=y-\frac{3}{4}\cdot y=z-\frac{2}{5}\cdot z\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{3z}{5}
Astfel avem ca:
\frac{1}{3}\cdot x=k\Rightarrow x=3\cdot k
\frac{y}{4}\cdot y=k\Rightarrow y=4\cdot k
Si \frac{3}{5}\cdot z=k\Rightarrow z=\frac{5}{3}\cdot k
Astfel daca inlocuim in prima ecuatie obtinem:
3\cdot k+4\cdot k+\frac{5}{3}\cdot k=130\Rightarrow 7k+\frac{5k}{3}=130\Rightarrow \frac{21k+5k}{3}=130\Rightarrow \frac{26k}{3}=130\Rightarrow k=\frac{130\cdot 3}{26}=\frac{390}{26}\Rightarrow k=15
Astfel primul a avut x=3\cdot k=3\cdot 15=45\;\; lei
Cel de-al doilea y=4\cdot 15=60\;\; lei
Iar cel de-al treilea z=\frac{5}{3}\cdot k=\frac{5}{3}\cdot 15=5\cdot 5=25 \;\; lei