Mate Pedia | Cel mai mic multiplu comun, multipli comuni pentru doua sau mai multe numere naturale, relatia dintre c.m.m.d.c. si c.m..m..m.c

Dupa ce am invatat despre cel mai mare divizor comun, astazi o sa discutam despre cel mai mic multiplu comun.
Pentru a afla cel mai mic multiplu comun pentru doua sau mai multe numere naturale procedam astfel:
-se descompun numerele in produs de factori primi (numere prime)
-se iau factorii comuni si necomuni o singura data la puterea cea mai mare si se inmultesc .
Cel mai mic multiplu comun a doua numere naturale a si b se noteaza [a,b].
Exemplu:
Sa se determine cel mai mic multiplu comun al numerelor:25, 60, 150

$ 25=5^{2} \\60=2^{2}\cdot 3\cdot 5 \\150=2\cdot 3\cdot 5^{2} \\\left[25, 60, 150\right]=2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}=4\cdot3\cdot 25=300$
Observatie:
$\left[0, n\right]=0$ adica cel mai mic multiplu comun dinte 0 si orice numar natural este 0
Relatia dintre cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun este:
Pentru numerele $a,b\in N$ are loc relatia $\left(a,b\right)\cdot\left[a,b\right]=a\cdot b$
Exemplu:
Stiind ca $a, b\in N, a\cdot b=10455$ si $\left[a,b\right]=123$ , aflati $\left(a,b\right)$
Solutie:
Stiind egalitatea de mai sus de la observatie
$\left(a,b\right)\cdot\left[a,b\right]=a\cdot b$ , inlocuim cu datele oferite de problema si obtinem:
$123\cdot\left(a,b\right)=10455|:123\Rightarrow \left(a,b\right)=10455:123 \Rightarrow \left(a,b\right)=85$ .
1) Aflati cel mai mic multiplu comun a urmatoarelor numere
a) $\left[825, 375, 1350\right]$ =?

$ 825=3\cdot 5^{2}\cdot 11 \\375=3\cdot 5^{3} \\1350=2\cdot 3^{3}\cdot 5^{2} \\\left[825, 375, 1350\right]=5^{3}\cdot 3^{3}\cdot2\cdot 11=125\cdot 22=550$
Astfel cel mai important este sa invatam regulile de mai sus, adica dupa ce am descompus numerele in produs de numere prime si luam factorii comuni si necomuni o singura data la puterea cea mai mare.

Similare