Cilindrul circular drept

Cilindrul circular drept face parte din categoria corpurilor rotunde, corpuri care in acest an scolar pentru elevii de clasa a VIII a joaca un rol destul de important, datorita faptului ca pentru Evaluarea Nationala apar probleme din acest capitol.
Incepem prin a desena un cilindru circular drept, a observa conventiile de desen, dar si notatiile precum si elementele componente, cat si cum calculam aria laterala, aria totala si volumul acestui corp.

Convetii de desen:
OA=OB=OA’=OB’=R (raza bazei sau raza cilindrului)
AB=A’B’= diametrul cercurilor de centru O si raza R.
AA’=G= generatoarea cilindrului
OO’=H= inatimea cilindrului.

Elementele cilindrului circular drept:
– bazele cilindrului cele 2 cercuri: $C\left(O, R\right)$ si $C\left(O', R'\right)$
– dreptunghiul ABA’B’
– generatoarea G, care este egala cu muchia laterala, dar si inaltimea cilindrului, adica AA’=G=OO’=H

Generatoarea unui cilindru circular drept este egala cu muchia laterala a cilindrului
Inaltimea unui cilindru circular drept este egala cu distanta dintre cele doua baze ale cilindrului, care este egala si cu generatoarea cilindrului.
-OO’ se numeşte axa de rotaţie a cilindrului.

Cum calculam aria laterala, aria totala si volumul cilindrului drept.

Foarte important sa stim ca cilindrul circular drept are aspectul unei prisme, astfel stim ca formula generala a unei prisme pentru calculul ariei este:
$A_{laterala}=P_{bazei}\cdot H$
Stim ca baza cilindrului circular este un cerc, astfel avem $P_{baza}=2\pi\cdot R$
Astfel aria laterala este $A_{laterala}=A_{l}=2\pi\cdot R\cdot H$
Iar aria totala este: $A_{totala}=A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{B}$
Aria bazei, cum o calculam.

Baza cilindrului circular este un cerc astfel avem ca aria cercului este:
$A_{B}=\pi\cdot R^{2}$
Astfel obtinem $A_{t}=2\pi\cdot R\cdot H+2\cdot\pi\cdot R^{2}$
deoarece $H=G$ , adica inaltimea este egala cu generatoarea obtinem ca:
$A_{t}=2\phi\cdot R\cdot G+2\cdot\phi\cdot R^{2}=2\phi \cdot R\left(G+R\right)$
Iar volumul cilindrului circular drept este egal cu:
$V=A_{B}\cdot H=\pi\cdot R^{2}\cdot H$ , dar putem sa scriem si $V=\pi\cdot R^{2}\cdot G$

Aplicatii:

Un cilindru circular drept are volumul $V=150\pi\;\; cm^{3}$ si aria sectiunii axiale de $60\;\; cm^{2}$ . Determinati raza si generatoarea cilindrului.

Demonstratie:
Stim ca volumul unui cilindru circular drept este egla cu $V=\pi\cdot R^{2}\cdot H$
De unde obtinem: $150\;\; \pi=\pi\cdot R^{2}\cdot H\Rightarrow 150=R^{2}\cdot H$
Stim de mai sus ca $H=G$ , astfel obtinem: $150=R^{2}\cdot G$
Dar mai stim si ca aria sectiunii axiale este egala cu 60, observam ca aria sectiunii axiale este dreptunghiul ABA’B’
Astfel stim ca $A_{ABA'B'}=L\cdot l=G\cdot 2\cdot R$
Astfel obtinem $60=G\cdot 2\cdot R\Rightarrow R\cdot G=60:2\Rightarrow R\cdot G=30\Rightarrow G=\frac{30}{R}$

Dar mai stim si ca $R^{2}\cdot G=150\Rightarrow R^{2}\cdot \frac{30}{R}=150\Rightarrow R\cdot 30=150\Rightarrow R=150:30\Rightarrow R=5\;\; cm$
Si astfel am obtinut ca R=5 cm, iar pentru a afla $G=\frac{30}{R}=\frac{30}{5}=6\;\; cm$
Deci am obtinut ca G=6 cm, adica generatoarea are 6 cm.

Prezentam o problema care a fost data la o testare nationala
2. Desenati un cilindru circular drept
Dreptunghiul ABCD este o sectiune axiala a cilindrului. Inaltimea cilindrului este de 12 cm, iar diametrul [AB] ala uneia dintre baze are lungimea de 10 cm.
b) Calculati aria laterala a cilindrului
c) Calculati volumul cilindrului
d) Aratati ca cel mai scurt drum intre A si C, parcurs pe suprafata laterala a cilindrului, are lungimea mai mica de 20 cm.
Demonstratie:
Stim ca AD= 12 cm si AB=10 cm, astfel obtinem $R=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\;\; cm$ , deci raza cilindrului este de 5 cm.

b) Calculam aria laterala a cilindrului $A_{l}=P_{b}\cdot H$
Mai intai calculam perimetrul bazei, $P_{B}=2\pi\cdot r=2\pi\cdot 5=10\pi$
Iar stim ca H=AD=12 cm si aria laterala este: $A_{l}=10\pi\cdot 12=120\pi\;\; cm^{2}$

c) $V=A_{B}\cdot H=\pi\cdot 5^{2}\cdot 12=\pi\cdot 25\cdot 12=300\;\;cm^{3}$ .

d) Daca desfasuram suprafata laterala a cilindrului circular drept, obtinem dreptunghiul $BB'C'C$ pozitiile punctelor A si D pe desfasurare vor fi $A'$ respectiv $D'$ .

Astfel avem ca:
$BB'=2\pi \cdot R=2\pi\cdot 5=10\pi$ si astfel obtinem
$A'B'=\frac{BB'}{2}=\frac{10\pi}{2}=5\pi$
Iar $B'C'=BC=G=12 cm$

Asadar cel mai scurt drum intre A si C parcurs pe suprafata laterala a cilindrului circular drept este egala cu lungimea segmentului $A'C'=\sqrt{A'B'^{2}+B'C'^{2}}=\sqrt{\left(5\pi\right)^{2}+12^{2}}=\sqrt{25\pi^{2}+144}$

Acum sa vedem daca $A'C'<20$
Astfel avem ca $A'C'<20\Leftrightarrow\sqrt{25\pi^{2}+144}<20|^{2}\Leftrightarrow 25\pi{2}+144<400\Leftrightarrow 25\pi^{2}<400-144\Rightarrow 25\pi^{2}<256\pi^{2}<256:25\Leftrightarrow \pi^{2}<10,24$
Acum stim ca $3,14\leq\pi\leq 3,15$