Congruenta triunghiurilor oarecare
Stiti inca din capitolele anterioare, cand am invatat, ca doua segmente sunt congruente sau doua unghiuri sunt congruenete. Astfel dupa cum bine va amintiti doua segmente sunt congruente daca au aceeasi lungime, adica
Iar doua unghiuri sunt congruente daca au aceeasi masura, adica
Dupa ce ne-am reamintit cand doua segmente sunt congruente sau cand doua unghiuri sunt congruente, astazi o sa discutam despre Congruenta triunghiurilor oarecare Criterii de congruenta a triunghiurilor. Acum o sa definim cand doua triunghiuri sunt congruente.
Ne punem intrebarea fireasca cand doua triunghiuri sunt congruente?
Iar raspunsul este: ca putem aseza unul dintre triunghiuri peste celalalt astfel incat ele sa coincida, adica sa aiba laturile congruente, dar si unghiurile congruente.
Def: Fiind date doua triunghiuri si
spunem ca sunt congruente si notam
daca au loc relatiile:
,
.
Def: Doua triunghiuri sunt congruente daca au laturile respectiv congruente, dar si unghiurile respectiv congruente.
Dar avem si cateva cazuri de congruenta in care nu trebuie sa stim daca toate laturlile sunt congruente sau toate unghiurile congruente, dupa cum am invatat la constructia triughiurilor. Astfel primul caz:
Cazul L.U.L de congruenta
Doua triunghiuri care au doua laturi si unghiul cuprins intre ele respectiv congruente sunt congruente.
Ca in figura de mai sus
daca si numai daca
,
,
.
Deci la acest caz trebuie sa gasim doua laturi respectiv congruente si unghiurile cuprins intre ele si astfel obtinem ca triunghiurile sunt congruente.
Cazul U.L.U de congruenta
Doua triunghiuri care au o latura si unghiurile alaturale ei respectiv congruente sunt congruente.
Tot din figura de mai sus avem ca
daca si numai daca
.
Cazul L.L.L de congruenta
Doua triunghiuri cu toate laturile respectiv congruente sunt congruente.
daca si numai daca
,
,
.
Deci la probleme cand avem sa aratam ca triunghiurile sunt congruente trebuie sa aplicam unul din cazurile de mai sus.
Problema
1) Se considera triunghiul isoscel ABC cu baza si (AD bisectoarea unghiului
. Daca M este un punct oarecare pe segmentul (AD) aratati ca
a)
b) .
a) Cum stim ca triunghiul ABC este isoscel stim si ca
, stim ca AD este bisectoare deci unghiul
, iar AM este latura comuna scriem AM=AM
Scriem
(din faptul ca triunghiul ABC isoscel)
(AD este bisectoare in triunghiul ABC si stim ca bisectoarea imparte unghiul in doua unghiuri congruente).
(din constructia triunghiului AM observam da se afla in ambele triunghiuri deci latura comuna)
Deci stim ca avem doua laturi congruente si unghiul cuprins intre ele congruent, rezulta ca triunghiurile
b) Din congruenta rezulta ca
. Dar
(observam ca triunghiul ABD congruent cu triunghiul ADC) si
(latura comuna).
Si astfel cu cazul de congruenta L.L.L triunghiurile sunt congruente .