Ne place matematica !

Continuitatea Functii continue intr-un punct Continuitatea laterala

Dupa ce am discutat despre asiptotele functiilor reale si am incheiat capitolul Limite de functii, a venit vremea sa discutam despre Continuitatea Functii continue intr-un punct

Incepem prin definirea continuitatii

Definitie:

Fie f:D\rightarrow R si x_{0}\in I punct de acumulare. Atunci f este continua in x_{0} daca si numai daca \lim\limits_{x\to x_{0}}{f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right)}.

Un punct x_{0}\in D in care functia f este continua se numeste punct de continuitate. al functiei f.

Observatii:

Daca functia f nu este continua in x_{0}\in D, ea se numeste functie discontinua in x_{0} , iar x_{0} se numeste punct de discontinuitate.

Problema continuitatii unei functii f nu se pune in punctele in care functia nu este definita si nici la +\infty sau -\infty.

Conditia \lim\limits_{x\to 0}{f\left(x\right)}=f\left(x_{0}\right) presupune existenta limitei \lim\limits_{x\to x_{0}}{f\left(x\right)} si egalitatea ei cu f\left(x_{0}\right)

Deci o functie este discontinua intr-un punct x_{0}\in D daca nu are limita in x_{0}  sau daca are limita in x_{0} si aceasta nu este egala cu f\left(x_{0}\right).

Legatura dintre limitele de siruri si continuitate este data de urmatorul rezultat:

Teorema lui Heine

Fie  f:D\rightarrow R o functie reala de varibila reala si x_{0}\in D. Functia f este continua in punctul x_{0}\in D daca si numai daca pentru oricare sir x_{n}, x_{n}\in D si \lim\limits_{n\to\infty}{x_{n}}=x_{0} rezulta ca \lim\limits_{n\to \infty}{f\left(x_{n}\right)}=f\left(x_{0}\right).

Continuitatea laterala

Definitie

Functia f se numeste continua la stanga in punctul x_{0}  daca \lim\limits_{x\to x_{0}\;\;x<x_{0}}{f\left(x\right)}=f\left(x_{0}\right).

Functia f se numeste continua la stanga in punctul x_{0}  daca \lim\limits_{x\to x_{0}\;\;x>x_{0}}{f\left(x\right)}=f\left(x_{0}\right).

Observatii:

1. O functie f:D\rightarrow R poate sa fie continua la stanga in x_{0}\in D fara a fi continua la dreapta in x_{0}, si reciproc.

2. Pentru functia f:\left[a,b\right]\rightarrow R continuitatea functiei in x=a este echivalenta cu continuitatea la dreapta, iar pentru x=b este echivalent cu continuitatea al  stanga.

3. Fie functia f:D\rightarrow R si x_{0}\in D punct de acumulare pentru D, in care f ale limitele laterale. Functia f este continua in x_{0} daca si numai daca f\left(x_{0} -0\right)=f\left(x_{0} +0\right)=f\left(x_{0}\right)

Exemplu:

1) Sa se studieze continuitatea functiei f:R\rightarrow R

f\left(x\right)=    3x; \;\;\; x\leq 1    \\2x-1;\;\;\;x>1
Studiem continuitatea functiilor

Pe intervalul \left(-\infty; 1\right), f\left(x\right)=3x

Pe intervalul \left(1; +\infty\right) f\left(x\right)=2x-1

Ca sa studiem continuitatea functiei calculam:

f\left(1-0\right)=f_{s}\left(1\right)=\lim\limits{x\to 1\;\;x<1}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 1\;\;x<1}{3x}=3\cdot 1=3

f\left(1+0\right)=f_{s}\left(1\right)=\lim\limits{x\to 1\;\;x>1}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 1\;\;x>1}{2x-1}=1

f\left(1\right)=3\cdot 1=3

Deci functia este discontinua la dreapta in x_{0}=1$, stim ca f_{d}\left(1\right)=1, f\left(1\right)=3, f_{s}\left(1\right)=3

b) f:R\rightarrow R

f\left(x\right)=

x^{2};\;\;\; x\leq 2    \\ x+2; \;\;\;\; x>2

Solutie:

Studiem continiutatea functiei:

Pe intervalul \left(-\infty; 2\right), f\left(x\right)=x^{2} functie continua

Pe intervalul \left(2; +\infty\right), f\left(x\right)=x+2 functie continua

Avem,

f\left(2-0\right)=f_{s}\left(2\right)=\lim\limits_{x\to 2\;\;x<2}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 2\;\;x< 2}{x^{2}}=2^{2}=4

f\left(2+0\right)=f_{d}\left(2\right)=\lim\limits_{x\to 2\;\;x>2}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 2\;\;x> 2}{x+2}=2+2=4

f\left(2\right)=2^{2}=4

Cum f_{s}\left(2\right)=f_{d}\left(2\right)=f\left(2\right)\Rightarrow f este continua in x_{0}=2. Deci functia f este continua pe f.