Continuitatea Functii continue intr-un punct Continuitatea laterala

Dupa ce am discutat despre asiptotele functiilor reale si am incheiat capitolul Limite de functii, a venit vremea sa discutam despre Continuitatea Functii continue intr-un punct

Incepem prin definirea continuitatii

Definitie:

Fie $f:D\rightarrow R$ si $x_{0}\in I$ punct de acumulare. Atunci f este continua in $x_{0}$ daca si numai daca $\lim\limits_{x\to x_{0}}{f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right)}$ .

Un punct $x_{0}\in D$ in care functia f este continua se numeste punct de continuitate. al functiei f.

Observatii:

Daca functia f nu este continua in $x_{0}\in D$ , ea se numeste functie discontinua in $x_{0}$ , iar $x_{0}$ se numeste punct de discontinuitate.

Problema continuitatii unei functii f nu se pune in punctele in care functia nu este definita si nici la $+\infty$ sau $-\infty$ .

Conditia $\lim\limits_{x\to 0}{f\left(x\right)}=f\left(x_{0}\right)$ presupune existenta limitei $\lim\limits_{x\to x_{0}}{f\left(x\right)}$ si egalitatea ei cu $f\left(x_{0}\right)$

Deci o functie este discontinua intr-un punct $x_{0}\in D$ daca nu are limita in $x_{0}$ sau daca are limita in $x_{0}$ si aceasta nu este egala cu $f\left(x_{0}\right)$ .

Legatura dintre limitele de siruri si continuitate este data de urmatorul rezultat:

Teorema lui Heine

Fie $f:D\rightarrow R$ o functie reala de varibila reala si $x_{0}\in D$ . Functia f este continua in punctul $x_{0}\in D$ daca si numai daca pentru oricare sir $x_{n}, x_{n}\in D$ si $\lim\limits_{n\to\infty}{x_{n}}=x_{0}$ rezulta ca $\lim\limits_{n\to \infty}{f\left(x_{n}\right)}=f\left(x_{0}\right)$ .

Continuitatea laterala

Definitie

Functia f se numeste continua la stanga in punctul $x_{0}$ daca $\lim\limits_{x\to x_{0}\;\;x<x_{0}}{f\left(x\right)}=f\left(x_{0}\right)$ .

Functia f se numeste continua la stanga in punctul $x_{0}$ daca $\lim\limits_{x\to x_{0}\;\;x>x_{0}}{f\left(x\right)}=f\left(x_{0}\right)$ .

Observatii:

1. O functie $f:D\rightarrow R$ poate sa fie continua la stanga in $x_{0}\in D$ fara a fi continua la dreapta in $x_{0}$ , si reciproc.

2. Pentru functia $f:\left[a,b\right]\rightarrow R$ continuitatea functiei in x=a este echivalenta cu continuitatea la dreapta, iar pentru x=b este echivalent cu continuitatea al stanga.

3. Fie functia $f:D\rightarrow R$ si $x_{0}\in D$ punct de acumulare pentru D, in care f ale limitele laterale. Functia f este continua in $x_{0}$ daca si numai daca $f\left(x_{0} -0\right)=f\left(x_{0} +0\right)=f\left(x_{0}\right)$