Criterii de asemanare a triunghiurilor

Dupa cum bine stiti, despre triunghiuri asemenea am mai discutat intr-un articol anterior. Astazi o sa discutam despre Criterii de asemanare a triunghiurilor.

Va mai amintiti ca in clasa a VI-a am invatat congruenta triunghiurilor asemenea, Metoda triunghiurilor congruente, dar si Congruenta triunghiurilor dreptunghice.

La congruenta triunghiurilor stiti ca am invatat cele trei cazuri: L.U.L, L.L.L, U.L.U,iar la congruenta triunghiurilor dreptunghice am invatat urmatoarele cazuri:C.C, C.U, I.C, I.U, iar acum o sa discutam despre Criterii de asemanare a triunghiurilor

Incepem cu primul criteriu:

Criteriul u.u. Daca doua triunghiuri au doua unghiuri respectiv congruente, atunci ele sunt asemenea.

Ipoteza:
$\widehat{A}\equiv\widehat{A'} \\ \widehat{B}\equiv\widehat{B'}$
Concluzie: $\Delta ABC\sim\Delta A'B'C'$

Criteriul II de asemanare (Criteriul l.u.l)

Daca un triunghi are un unghi respectiv congruent cu unghiul altui triunghi si laturile care formeaza cele doua unghiuri sunt respectiv proportionale, atunci cele doua triunghiuri sunt asemenea.

Ipoteza:
$\widehat{A}\equiv\widehat{A'} \\ \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$

Concluzie: $\Delta ABC\sim\Delta A'B'C'$

Criteriul III de asemanare (cazul l.l.l)

Daca doua triunghiuri au laturile respectiv proportionale, atunci ele sunt asemenea.

Ipoteza!

$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$

Concluzie!

$\Delta ABC\sim\Delta A'B'C'$

Probleme:

1) In triunghiul ABC se cunosc: AB=8 cm, BC=16 cm si AC=12 cm. Prelungim laturile $\left[BA\right]$ si $\left[CA\right]$ cu segmentele $\left[AM\right]$ si $\left[AN\right]$ astfel incat $A\in\left(BM\right)$ si $A\in \left(CN\right) iar$ latex AM=4 cm$ si $AN=6 cm$

a) Aratati ca $\Delta AMN\sim\Delta ABC$

b) Calculati lungimea segmentului $\left[MN\right]$

Demonstratie:

Stim ca $\widehat{BAC}\equiv\widehat{MAN}$ (sunt unghiuri opuse la varf)

Si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow \frac{6}{12}^{(6}=\frac{4}{8}^{(4}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ .

Deci cu criteriul de asemanare II (cazul de asemanare l.u.l) $\Delta ABC\sim\Delta AMN$
b) MN=?

Observam ca MN||BC, cu Teorema fundamentala a asemanarii avem ca
$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

Luam $\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow \frac{6}{12}^{(6}=\frac{MN}{16}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{MN}{16}\Rightarrow MN=\frac{16}{2}\Rightarrow MN=8 cm$ .

Deci lungimea segmentului MN este 8 cm.

2) In triunghiul isoscel ABC, cu AB=AC, AB=36 cm, BC=12 cm, se duce bisectoarea BD a unghiului $\widehat{ABC}, D\in\left(AC\right)$ .Calculati lungimea segmentelor AD si DC. Stiind ca DE||AB, $E\in\left(BC\right)$ , calculati lungimea segmentului DE.

Demonstratie:

In triunghiul ABC aplicam Teorema bisectoarei, stim ca BD este bisectoare.
$\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow \frac{DA}{DC}=\frac{36}{12}\Rightarrow \frac{DA}{DC}=3\Rightarrow DA=3\cdot DC$
Acum stim ca AC=36 cm
Adica
$AC=AD+DC\Rightarrow 36=3\cdot DC+DC\Rightarrow 4DC=36 cm\Rightarrow DC=36:4\Rightarrow DC=9 cm$ .
Acum $DA=3\cdot DC\Rightarrow DA=3\cdot 9\Rightarrow DA=27 cm$ .

b) Stim ca DE||AB rezulta cu Teorema fundamentala a asemanarii ca $\Delta CED\sim\Delta CBA$

Astfel avem $\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB}\Rightarrow \frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB}\Rightarrow\frac{9}{36}=\frac{DE}{36}\Rightarrow DE=\frac{36\cdot 9}{36}\Rightarrow DE=9 cm$