Dupa cum bine stiti, despre triunghiuri asemenea am mai discutat intr-un articol anterior. Astazi o sa discutam despre Criterii de asemanare a triunghiurilor.
Va mai amintiti ca in clasa a VI-a am invatat congruenta triunghiurilor asemenea, Metoda triunghiurilor congruente, dar si Congruenta triunghiurilor dreptunghice.

La congruenta triunghiurilor stiti ca am invatat cele trei cazuri: L.U.L, L.L.L, U.L.U,iar la congruenta triunghiurilor dreptunghice am invatat urmatoarele cazuri:C.C, C.U, I.C, I.U, iar acum o sa discutam despre Criterii de asemanare a triunghiurilor
Incepem cu primul criteriu:
Criteriul u.u. Daca doua triunghiuri au doua unghiuri respectiv congruente, atunci ele sunt asemenea.
cum aplicam cazul U.U ?
Ipoteza:
\widehat{A}\equiv\widehat{A'}  \\ \widehat{B}\equiv\widehat{B'}
Concluzie: \Delta ABC\sim\Delta A'B'C'

Criteriul II de asemanare (Criteriul l.u.l)

Daca un triunghi are un unghi respectiv congruent cu unghiul altui triunghi si laturile care formeaza cele doua unghiuri sunt respectiv proportionale, atunci cele doua triunghiuri sunt asemenea.

Cum aplicam criteriul II de asemanare?
Ipoteza:
\widehat{A}\equiv\widehat{A'}  \\ \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}
Concluzie: \Delta ABC\sim\Delta A'B'C'

Criteriul III de asemanare (cazul l.l.l)

Daca doua triunghiuri au laturile respectiv proportionale, atunci ele sunt asemenea.
Cum aplicam criteriul III de asemanare?
Ipoteza
\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}
Concluzie
\Delta ABC\sim\Delta A'B'C'

Probleme

1) In triunghiul ABC se cunosc: AB=8 cm, BC=16 cm si AC=12 cm. Prelungim laturile \left[BA\right] si \left[CA\right] cu segmentele \left[AM\right] si \left[AN\right]  astfel incat A\in\left(BM\right) si A\in \left(CN\right) iar latex AM=4 cm$ si AN=6 cm

a) Aratati ca \Delta AMN\sim\Delta ABC

b) Calculati lungimea segmentului \left[MN\right]

Demonstratie:

Teorema fundamentala a asemanarii
Stim ca
\widehat{BAC}\equiv\widehat{MAN}(sunt unghiuri opuse la varf)
Si
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow \frac{6}{12}^{(6}=\frac{4}{8}^{(4}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Deci cu criteriul de asemanare II (cazul de asemabnare l.u.l) \Delta ABC\sim\Delta AMN
b) MN=?
Observam ca MN||BC, cu Teorema fundamentala a asemanarii avem ca
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}
Luam

\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow \frac{6}{12}^{(6}=\frac{MN}{16}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{MN}{16}\Rightarrow MN=\frac{16}{2}\Rightarrow MN=8 cm.
Deci lungimea segmentului MN este 8 cm.
2) In triunghiul isoscel ABC, cu AB=AC, AB=36 cm, BC=12 cm, se duce bisectoarea BD a unghiului \widehat{ABC}, D\in\left(AC\right).Calculati lungimea segmentelor AD si DC. Stiind ca DE||AB, E\in\left(BC\right), calculati lungimea segmentului DE.
Demonstratie
Cum aplicam Teorema bisectoarei?
In triunghiul ABC aplicam Teorema bisectoarei, stim ca BD este bisectoare.
\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow \frac{DA}{DC}=\frac{36}{12}\Rightarrow \frac{DA}{DC}=3\Rightarrow DA=3\cdot DC
Acum stim ca AC=36 cm
Adica
AC=AD+DC\Rightarrow 36=3\cdot DC+DC\Rightarrow 4DC=36 cm\Rightarrow DC=36:4\Rightarrow DC=9 cm.
Acum DA=3\cdot DC\Rightarrow DA=3\cdot 9\Rightarrow DA=27 cm.

b) Stim ca DE||AB rezulta cu Teorema fundamentala a asemanarii ca \Delta CED\sim\Delta CBA
Astfel avem
\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB}\Rightarrow \frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB}\Rightarrow\frac{9}{36}=\frac{DE}{36}\Rightarrow DE=\frac{36\cdot 9}{36}\Rightarrow DE=9 cm
Acum sa enuntam Teorema bisectoarei
Intr-un triunghi o bisectoare determina pe latura opusa segmente proportionale cu laturile unghiului.
Ipoteza
\Delta ABC,,
[AD este bisectoarea unghiului \widehat{BAC}
Concluzie
\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}
Enuntul Teoremei bisectoarei

Lasă un răspuns