Probleme in care aflam muchia unui cub

Se considera cubul ABCDA’B’C’D’ si punctele $M\in [AA'], N\in [CC']$ astfel incat $MA=2\cdot MA'$ si $NC=\frac{CC'}{3}$ . Daca $MN=\frac{5\sqrt{19}}{3}$ , calculati: lungimea muchiei cubului.

Demonstratie:

Pentru a efectua corect corpul geometric cu notiunile din problema stim ca:

$MA=2\cdot MA'$

Dar mai stim si ca $AA'=MA+MA'\Rightarrow AA'=2MA'+MA'\Rightarrow AA'=3MA'\Rightarrow MA'=\frac{AA'}{3}$

Mai stim si ca $NC=\frac{CC'}{3}\Rightarrow CC'=3\cdot NC$

Si mai stim si ca $CC'=CN+NC'\Rightarrow 3NC=CN+NC'\Rightarrow 3NC-NC=NC'\Rightarrow NC'=2NC$

Stim ca cubul are toate muchiile egal astel avem ca $AA'=AB=BC=l$

Astfel avem ca $MA'=\frac{l}{3}$ , dar si $NC=\frac{l}{3}$

De unde obtinem si ca: $MA=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}$

Dar si $NC'=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}$

Astfel am obtinut patrulaterul ACNM, observati ca am construit diagonala AC, din notiunile pe care le avem stim ca $AC=l\sqrt{2}$ (diagonala in patratul ABCD), observam ca $m\left(\widehat{ACN}\right)=90^{0}$ , astfel construind si drepata AN, obtinem triunghiul dreptunghic ACN si aplicand Teorema lui Pitagora obtinem: $AN^{2}=AC^{2}+NC^{2}\Rightarrow AN^{2}=\left(l\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\frac{l}{3}\right)^{2}\Rightarrow AN^{2}={9)}^2l^{2}+\frac{l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{18l^{2}+l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{19l^{2}}{9}\Rightarrow AN=\sqrt{\frac{19l^{2}}{9}}\Rightarrow AN=\frac{l\sqrt{19}}{3}$

Dar construim si diagonala A’C’, dar si segmentul MC’
Si la fel ca si mai sus obtinem triunghiul dreptunghic A’MC’, unde $MC'=\frac{l\sqrt{19}}{3}$ , daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic A’MC’

Astfel avem triunghiurile: $\Delta A'C'M$ si $\Delta ACN$ triunghiuri dreptunghice in A’ respectiv C, unde gasim ca $[AC]\equiv[A'C']$

Dar mai avem si $[AN]\equiv[CN]$
Si cu cazul de congruneta de la trunghiurile dreptunghice obtinem ca:
$\Delta A'C'M\equiv\Delta ACN$
Si astfel obtinem ca $[C'M]\equiv[AN]$ dar mai avem si:

$\Delta ACM$ si $\Delta A'C'N$
$[AC]\equiv[A'C']$
Si $[C'N]\equiv[AM]$
Si cu cazul de congruneta $C.C$ obtinem:
$\Delta ACM\equiv\Delta C'A'N$ si obtinem $[A'N]\equiv[CM]$