Cum calculam lungimea unor segmente cand stim un raport

1. Daca M apartine [AB] si AB=18 cm, calculati lungimile segmentelor [AM] si [MB] in situatiile:
a) AM supra MB=2supra 7
Solutie:
$\frac{AM}{MB}=\frac{2}{7}\Rightarrow AM=\frac{2}{7}\cdot MB$
Stim ca $M\in [AB]$
Astfel avem:
$AB=AM+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+\frac{7}{7}MB\Rightarrow 18=\frac{9}{7}\cdot MB\Rightarrow MB=18:\frac{9}{7}\Rightarrow MB=18\cdot\frac{7}{9}^{(9}\Rightarrow MB=2\cdot\frac{7}{1}\Rightarrow MB=2\cdot 7=14\;\; cm$
Si $AM=AB-MB\Rightarrow AM=18-14=4\;\; cm$ .

b) AM supra AB= 2 supra 3
Stim ca
$\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}$
Stim ca AB=18 cm
astfel obtinem:
$\frac{AM}{18}=\frac{2}{3}\Rightarrow AM=\frac{2}{3}\cdot 18^{(3}=\frac{2}{1}\cdot 6\Rightarrow AM=2\cdot 6=12\;\; cm$
Cum AM=12 cm
Obtinem:
$AB=AM+MB\Rightarrow 18=12+MB\Rightarrow MB=18-12\Rightarrow MB=6 cm$

2. Daca punctul P apartine [AB] , astfel incat AP supra PB=3 supra 5, calculati
a) AP supra AB
b) PB supra AB
Solutie:
Stim ca:
$\frac{AP}{PB}=\frac{3}{5}$
Din raportul de mai sus obtinem:
$\frac{AP}{3}=\frac{PB}{5}$
Adica
$\frac{AP}{3}=k\Rightarrow AP=3k$
Dar si
$\frac{PB}{5}=k\Rightarrow PB=5\cdot k$
Astfel $AB=AP+PB=3k+5k=8k$
astfel raportul
$\frac{AP}{AB}=\frac{3k}{8k}^{(k}=\frac{3}{8}$
Si
$\frac{PB}{AB}=\frac{5k}{8k}^{(k}=\frac{5}{8}$

3. In triunghiul TLE, se iau punctele A apartine (TL), S apartine (TE), astfel incat AS\\ LE.

a) Daca TA=4 cm , AL=3 cm,TE=14 cm,atunci TS=?

Demonstratie:

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales obtinem segmente proportionale:

$\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}$

Observati ca am folosit proportiile derivate pentru Teorema lui Thales.

Dar mai intai sa aflam TL, astfel $TL=TA+AL\Rightarrow TL=4+3=7\;\; cm$

Si obtinem egalitatea de rapoarte:

$\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}\Rightarrow \frac{4}{7}=\frac{TS}{14}\Rightarrow 7\cdot TS=4\cdot 14\Rightarrow TS=\frac{4\cdot 14}{7}^{(7}=\frac{4\cdot 2}{1}=7$

deci obtinem ca TS=8 cm

b) Daca TA=10 cm, TS=15 cm, SE=6 cm,atunci AL=?

Demonstratie:

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales, obtinem:

$\frac{TA}{AL}=\frac{TS}{SE}\Rightarrow \frac{10}{AL}=\frac{15}{6}\Rightarrow 15\cdot AL=10\cdot 6\Rightarrow AL=\frac{10\cdot 6}{15}=\frac{60}{15}=4\;\; cm$

Si astfel am obtinut AL=4 cm.

Observati ca este destul de important atunci cand aplicam Teorema lui Thales sa avem grija din ce varf pornim si daca folosim proportii derivate sau proportiile directe.

Cum calculam lungimea unor segmente cand stim un raport

Recente

Categorii