Cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea

Sa vedem, inca o data, cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea !

O aplicatie a semnului functiei de gradul al doilea $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c,a,b, c\in R, a\neq 0$ o reprezinta rezolvarea inecuatiei $ax^{2}+bx+c\leq 0,\left(geq, <,1.\right), a\neq 0$ .
Rezolvarea unei astfel de inecuatii revine la a determina multimea solutiilor, pentru acesta se studiaza semnul functiei de gradul al doilea, dupa care se alege solutia inecuatiei.
Exemplu:
1) Sa se rezolve inecuatia si sa se interpreteze geometric rezultatele:
a) $-2x^{2}+4x+6\geq 0$
Astfel consideram functia $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-2x^{2}+4x+6$
Astfel stim ca
$f\left(x\right)=\Rightarrow -2x^{2}+4x+6=0$
Astfel
$\Delta=4^{2}-4\cdot\left(-2\right)\cdot 6=16+48=64$
Astfel ecuatia are solutiile
$x_{1}=\frac{-4+\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4+8}{-4}=\frac{4}{-4}=-1$
Dar si
$x_{2}=\frac{-4-\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4-8}{-4}=\frac{-12}{-4}=3$
Acum realizam tabelul de semn pentru functia f.

Din tabelul functie observam ca $x\in\left[-1;3\right]$
Deoarece functia f este pozitiva pe intervalul de mai sus.
b) $\frac{x^{2}-3x-4}{4x-x^{2}}$
Solutie:
Mai intai stabilim omeniul de existenta al functie astfel punem conditia ca:
$4x-x^{2}\neq 0\Rightarrow x\left(x-4\right)\neq 0$
Astfel fie
$x\neq 0$
Sau
$x-4\neq 0\Rightarrow x\neq 4$
Deci domeniul de existenta este:
$D=R-\left\{0,4\right\}$ (adica numitorul trebuie sa fie diferit de 0.)
Acum ca sa aflam solutia inecuatiei consideram functiile
$f,g:R\rightarrow R$ si
$f\left(x\right)=x^{2}-3x-4$
Acum rezolvam ecuatia
$f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-3x-4=0$
Astfel
$\Delta=\left(-3\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-4\right)=9+16=25$
Acum
$x_{1}=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$
$x_{2}=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

Dar si
$g\left(x\right)=4x-x^{2}$
Adica
$g\left(x\right)=0\Rightarrow 4x-x^{2}=0\Rightarrow x=0$
Sau
$4-x=0\Rightarrow x=4$
Acum realizam tabelul celor doua functii si astfel afla solutia inecuatiei:

Din tabelul celor doua functii reiese ca solutia inecuatiei este S=[-1,0)

Daca nu ati inteles cum se rezolva inecuatiile de gradul al doilea va asteptam sa ne trimiteti si alte exercitii pentru a va ajuta sa le rezolvati. Accesati pagina REZOLVARI !

Cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea

Recente

Categorii