Ne place matematica !

Derivata functiei intr-un punct Derivate laterale

Forte important pentru Bacalaureat asa cum ati vazut este derivata functiei intr-un punct, dar si derivatele laterale.
Incepem prin a calcula cateva derivate
1) Sa se calculeze derivatele urmatoarelor functii (specificad de fiecare data domeniul maxim de definitie a functiilor f si f').
a) f\left(x\right)=\frac{3}{4}\cdot x^{4}-5x^{3}+\frac{1}{2}\cdot x^{2}+6
Domeniul de definitie in cazul polinoamelor este multimea numerelor reale. Deci D=D'=R
f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{3}{4}\cdot x^{4}-5x^{3}+\frac{1}{2}\cdot x^{2}+6\right)^{'}    \\ f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{3}{4}\right)^{'}\cdot x^{4}+\frac{3}{4}\cdot \left(x^{4}\right)^{'}-\left(5^{'}\cdot x^{3}+5\cdot \left(x^{3}\right)^{'}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{'}\cdot x^{2}+\frac{1}{2}\cdot \left(x^{2}\right)^{'}+6^{'}  \\f^{'}=0\cdot x^{4}+\frac{3}{4}\cdot 4x^{3}-0\cdot x^{3}-5\cdot 3x^{2}+0\cdot x^{2}+\frac{1}{2}\cdot 2x +0  \\f^{'}=0+3x^{3}-0+15x^{2}+0+x  \\f^{'}=3x^{3}-15x^{2}+x
Pentru a deriva functia de mai sus am folosit formula derivarii produsului, adica \left(f\cdot g\right)^{'}=f^{'}\cdot g+f\cdot g^{'}, dar si faptul ca x^{n}=nx^{n-1}, chiar daca am avut si fractii am folosit doar formula pentru produs considerand fiecare fractie ca fiind un numar si cum stim ca c^{'}=0, adica orice numar real derivat este 0.
b) f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}
Domeniul de definitie. Punem conditia ca numitorul fractiei sa fie diferit de 0, astfel obtinem:
x+2=0\Rightarrow x=-2.
Deci D=D^{'}=R-\left\{-2\right\}.
Calculam derivata acum
f^{'}\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)^{'}\cdot \left(x+2\right)-\left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right)^{'}}{\left(x+2\right)^{2}}  f^{'}\left(x\right)=\frac{1\cdot\left(x+2\right)-\left(x-2\right)\cdot 1}{\left(x+2\right)^{2}}=  \frac{x+2-x+2}{\left(x+2\right)^{2}}=\frac{4}{\left(x+2\right)^{2}}
Deci si domniul de definitie pentru derivata este tot ca cele de mai sus, adica domeniul de definitie pentru fractie.
Ca sa derivam functia de mai sus am folosit derivata raportului, adica \left(\frac{f}{g}\right)^{'}=\frac{f^{'}\cdot g-f\cdot g^{'}}{g^{2}}.
c) f\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot \sqrt{x}  \\f^{'}\left(x\right)=\left(x+1\right)^{'}\cdot \sqrt{x}+\left(x+1\right)\cdot\left(\sqrt{x}\right)^{'}  \\f^{'}\left(x\right)=1\cdot\sqrt{x}+\left(x+1\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}    \\f^{'}\left(x\right)=\sqrt{x}+\frac{x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\cdot2\sqrt{x}+x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{2x+x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{3x+1}{2\sqrt{x}}
Ca sa derivam functia de mai sus am folosit derivata produsului ca si la exercitiul a), dar si faptul ca \sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} pentru radical, dupa ce am derivat am adus fractia la acelasi numitor si am obtinut rezultatul de mai sus.
Domeniul de definitie in cazul functiei de mai sus este
\sqrt{x}\geq 0\Rightarrow x\geq 0\Rightarrow x\in \left[0,\infty\right)
Si astfel domeniul de definitie D=D^{'}=\left[0,\infty\right)