Derivata unei functii intr-un punct

Dupa ce am invatat sa calculam limitele unor functii, dar si sa studiem continuitatea unor functii a venit vremea sa discutam despre Derivata functiei intr-un punct si Derivate laterale. Astfel astazi discutam despre :
Derivata unei functii intr-un punct

Incepem prin a defini anumite notiuni teoretice prin care sa intelegem notiunea de derivata.

Definitie
Fie $f: D\rightarrow R$ si $x_{0}\in D$ punct de acumulare a multimii D.
Se spune ca functia f are derivata in punctul $x_{0}\in D$ , daca exista limita $\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ in $\overline{R}=R\cup\left\{-\infty;+\infty\right\}$ . In acest caz limita o notam cu $f'\left(x_{0}\right)$ si se numeste derivata functei in $x_{0}$ .

Astfel obtinem ca :

$f' \left(x_{0}\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$
Spunem ca f este derivabila in punctul $x_{0}\in D$ daca limita
$f'\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$
exista si este finita, astfel aceasta limita este derivata functiei in $x_{0}$ .

Teorema. Daca o functie $f:D\rightarrow R$ este derivabila in $x_{0}\in D$ , atunci ea este continua in $x_{0}$ .

Reciproca nu este in general adevarata.

Exemplu: $f\left(x\right)=|x|$ .

Exercitiu
1) Sa se calculeze derivatele functiilor in punctele specificate $f:R\rightarrow R$ :
a) $f\left(x\right)=2x+3, x_{0}=2$
Solutie
$f'\left(2\right)=\lim\limits_{x\to 2}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\frac{2x+3-7}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}{\frac{2x-4}{x-2}}=\lim\limits_{x\to 2}{\frac{2\left(x-2\right)}{x-2}}=2$
Observatii
1. In punctele izolate ale lui D nu se pune problema derivatei.
2. Daca $\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}$ nu exista sau nu este finita atunci f nu este derivabila $x_{0}$ .
3. Daca f este continua in $x_{0}$ si are derivata in in aces punct, atunci graficul sau admite tangenta in punctul $M_{0}\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ cu panta $m=f'\left(x_{0}\right)$ . Ecuatia tangentei $M_{0}$ este $y-f\left(x_{0}\right)=m\left(x-x_{0}\right)$ , daca $f\left(x_{0}\right)$ este finit si $x=x_{0}$ , daca $f'\left(x_{0}\right)$ este infinita.
4. Multimea $D_{f}=\left\{x\in D|\exists f'\left(x_{0}\right)\;\; si f'\left(x\right)\in R\right\}$ se numeste domeniul de derivabilitate al functiei.

Exemplu:

Sa se scrie ecuatia tangentei la curba in punctul indicat:
$f\left(x\right)=x^{2}-1,x_{0}=1$

Deci trebuie sa scriem ecuatia tangentei in punctul 1.
Calculam mai intai m, adica derivata functiei in punctul 1.
$m=f'\left(1\right)=$

$\lim\limits_{x\to 1}{\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}}=$

$\lim\limits_{x\to 1}{\frac{x^{2}-1-0}{x-1}}=$

$\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}}=$

$\lim\limits_{x\to 1}{x+1}=1+1=2$
Deci m=2
Calculam acum
$f\left(1\right)=1^{2}-1=0$
Atunci ecuatia tangentei in punctul 1 este
$y-0=2\left(x-1\right)\Rightarrow y=2\left(x-1\right)$ .

Derivata unei functii intr-un punct

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii