Ne place matematica !

Derivata unei functii intr-un punct

Dupa ce am invatat sa calculam limitele unor functii, dar si sa studiem continuitatea unor functii a venit vremea sa discutam despre Derivata functiei intr-un punct  si Derivate laterale. Astfel astazi discutam despre :
Derivata unei functii intr-un punct

Incepem prin a defini anumite notiuni teoretice prin care sa intelegem notiunea de derivata.

Definitie
Fie f: D\rightarrow R si x_{0}\in D punct de acumulare a multimii D.
Se spune ca functia f are derivata in punctul x_{0}\in D, daca exista limita \lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} in \overline{R}=R\cup\left\{-\infty;+\infty\right\}. In acest caz limita o notam cu f'\left(x_{0}\right) si se numeste derivata functei in x_{0}.

Astfel obtinem ca :

f' \left(x_{0}\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}
Spunem ca f este derivabila in punctul x_{0}\in D daca limita
f'\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}
exista si este finita, astfel aceasta limita este derivata functiei in x_{0}.

Teorema. Daca o functie f:D\rightarrow R este derivabila in x_{0}\in D, atunci ea este continua in x_{0}.

Reciproca nu este in general adevarata.

Exemplu: f\left(x\right)=|x|.

Exercitiu
1) Sa se calculeze derivatele functiilor in punctele specificate f:R\rightarrow R:
a) f\left(x\right)=2x+3, x_{0}=2
Solutie
f'\left(2\right)=\lim\limits_{x\to 2}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\frac{2x+3-7}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}{\frac{2x-4}{x-2}}=\lim\limits_{x\to 2}{\frac{2\left(x-2\right)}{x-2}}=2
Observatii
1. In punctele izolate ale lui D nu se pune problema derivatei.
2. Daca \lim\limits_{x\to x_{0}}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}} nu exista sau nu este finita atunci f nu este derivabila x_{0}.
3. Daca f este continua in x_{0} si are derivata in in aces punct, atunci graficul sau admite tangenta in punctul M_{0}\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right) cu panta m=f'\left(x_{0}\right). Ecuatia tangentei M_{0} este y-f\left(x_{0}\right)=m\left(x-x_{0}\right), daca f\left(x_{0}\right) este finit si x=x_{0}, daca f'\left(x_{0}\right) este infinita.
4. Multimea D_{f}=\left\{x\in D|\exists f'\left(x_{0}\right)\;\; si f'\left(x\right)\in R\right\} se numeste domeniul de derivabilitate al functiei.

Exemplu:

Sa se scrie ecuatia tangentei la curba in punctul indicat:
f\left(x\right)=x^{2}-1,x_{0}=1

Deci trebuie sa scriem ecuatia tangentei in punctul 1.
Calculam mai intai m, adica derivata functiei in punctul 1.
m=f'\left(1\right)=

\lim\limits_{x\to 1}{\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}}=

\lim\limits_{x\to 1}{\frac{x^{2}-1-0}{x-1}}=

\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}}=

\lim\limits_{x\to 1}{x+1}=1+1=2
Deci m=2
Calculam acum
f\left(1\right)=1^{2}-1=0
Atunci ecuatia tangentei in punctul 1 este
y-0=2\left(x-1\right)\Rightarrow y=2\left(x-1\right).