Ne place matematica !

Rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor rationale pozitive

Poate va intrebati de ce trebuie sa invatati sa rezolvati ecuatiile sau de ce trebuie sa le rezolvam. Un motiv ar fi ca ecuatiile joaca un rol esential in rezolvarea mai multor activitati desfasurate de oameni de natura stiintifica, tehnic, economica si astfel unele din aceste aspecte sunt elucidate cu ajutorul ecuatiilor.
Din acest motiv studiul ecuatiilor devin o necesitate.
Stiti inca din clasa a V-a ca am invatat sa rezolvam ecuatiile in multimea numerelor naturale, acum invatam sa rezolvam ecuatii in multimea numerelor rationale. Astfel prezentam

Rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor rationale pozitive
O ecuatie in multimea numerelor rationale are forma
ax+b=c
unde x= este necunoscuta ecuatiei, iar un numar x_{0} se numeste solutie a ecuatiei daca verifica:
a\cdot x_{0}+b=c
A rezova o ecuatie inseamna ai determina multimea solutiilor ecuatiei.
Se pune intrebarea fireasca Cum rezolvam o ecuatie in multimea numerelor rationale?
ax+b=c
-punem in evidenta termenul care contine necunoscuta ax=c-b
-efectuam diferenta c-b=d
– rescriem ecuatia ax=d
– punem in evidenta factorul x x=\frac{d}{a}
-scriem multimea solutiilor ecuatiei S=\left\{\frac{d}{a}\right\}
Exercitii
1) Rezolvati ecuatiile
a) \frac{3}{7}-\frac{2}{35}=x\Rightarrow \frac{5\cdot 3-1\cdot 2}{35}=x\Rightarrow \frac{15-2}{35}=x\Rightarrow \frac{13}{35}=x\Rightarrow x=\frac{13}{35}. S=\left\{\frac{13}{35}\right\}
Observam ca ecuatia de mai sus are deja pus in evidenta factorul x, astfel efecutam scaderea celor doua numere naturale adica am adus la acelasi numitor cele doua fractii, am efectuat calculele. Ca sa fim siguri ca am efectuat corect calculul verificam daca solutia ecuatiei care am gasit-o verifica ecuatia. Astfel
\frac{3}{7}-\frac{2}{35}=\frac{13}{35}\Rightarrow
\frac{5\cdot 3-1\cdot 2}{35}=\frac{13}{35}\Rightarrow
\frac{15-2}{35}=\frac{13}{35}\Rightarrow
\frac{13}{35}=\frac{13}{35}.
Deci solutia care am gasit-o verifica ecuatia.
b) \frac{3}{5}x+1\frac{2}{9}=2\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{3}{5}x+\frac{1\cdot 9+2}{9}=\frac{2\cdot 3+1}{3}\Rightarrow \frac{3}{5}x+\frac{11}{9}=\frac{7}{3}\Rightarrow \frac{3}{5}x=\frac{7}{3}-\frac{11}{9}\Rightarrow \frac{3}{5}x=\frac{3\cdot 7-1\cdot 11}{9}=\Rightarrow \frac{3}{5}x=\frac{21-11}{9}\Rightarrow \frac{3}{5}x=\frac{10}{9}\Rrightarrow x=\frac{10}{9}:\frac{3}{5}\Rightarrow x=\frac{10}{9}\cdot\frac{5}{3}\Rightarrow x=\frac{50}{27}\Rightarrow x=1\frac{23}{27}, S=\left\{1\frac{23}{27}\right\}
Pentru a rezolva ecuatia de mai sus  prima data am introdus intregii in fractii, apoi am pus in evidenta termenul care contine necunoscuta, am efectuat diferenta din membrul drept , iar apoi am efectuat impartirea prin inmultirea cu inversul celei de-a doua, iar din rezultatul pe care l-am obtinut  am scos intregii din fractii.
c) \frac{x-1}{2}+\frac{x+2}{4}+\frac{1}{3}=\frac{x+5}{8}+1\frac{7}{12}\Rightarrow  \frac{x-1}{2}+\frac{x+2}{4}+\frac{1}{3}=\frac{x+5}{8}+\frac{19}{12}\Rightarrow  \frac{6\cdot\left(x-1\right)+3\cdot\left(x+2\right)+4\cdot 1}{12}=\frac{3\cdot\left(x+5\right)+2\cdot 19}{24}\Rightarrow \frac{6x-6+3x+6+4}{12}=\frac{3x+15+38}{24}\Rightarrow \frac{9x+4}{12}=\frac{3x+53}{24}\Rightarrow \frac{9x+4}{12}-\frac{3x+53}{24}=0\Rightarrow \frac{2\cdot\left(9x+4\right)-1\cdot\left(3x+53\right)}{24}=0\Rightarrow  18x+8-3x-53=0\Rightarrow 15x-45=0\Rightarrow 15x=45\Rightarrow x=\frac{45}{15}\Rightarrow x=3, S=\left\{3\right\}.

La ecuatia c) am adus in membrul stang la acelasi numitor adica 12, atentie cand amplificam numaratorul inmultim cu fiecare termen din el, iar in membrul drept am adus de asemenea la acelasi numitor adica 24, am efectuat calculele, iar apoi rezultatul obtinut in membrul drept l-am trecut cu semn schimbat  in membrul stang si am efectuat calculele separand termenii.

Deci important la rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor rationale sa respectam pasii pe care trebuie sa-i urmam.