Prezentam exercitii pe care le rezolvam dand factorul comun, dar si folosind regulile de calcul cu puteri, cat si proprietatile relatiei de divizibilitate.

1. Calculati suma 8+16+24+32___+4000

Daca dam factor comun numarul 8 suma devine:

8+16+24+32+...+4000=8\left(1+2+3+4+...+500\right)

Acum ca sa calculam suma 1+2+3+…+500

Folosim formula 1+2+3+...+n=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}

Deci in cazul sumei noastre avem: 1+2+3+4+...+500=\frac{500\cdot\left(500+1\right)}{2}=250\cdot 501=125250

Dar avem de calculat 8\cdot\left(1+2+3+4+...+500\right)=8\cdot 12520=1002000

2. Aflati x, daca 2a+b=5 si 4ax+2bx+2=22

Ca sa aflam x in relatia a doua dam factor comun pe x , dar si pe 2x si obtinem:

4ax+2bx+2=22\Rightarrow 4ax+2bx=22-2\Rightarrow 4ax+2bx=20\Rightarrow 2x\left(2a+b\right)=20\Rightarrow 2x\cdot 5=20\Rightarrow 10x=20\Rightarrow x=20:10\Rightarrow x=2

3. Aratati ca numarul A=2^{n}\cdot 3^{n}\cdot 5^{n}+2^{n}\cdot 15^{n}\cdot 4+3^{n}\cdot 10^{n}\cdot 2\vdots 17, pentru orice n numar natural

Ca sa aratam ca numarul este divizibil cu 17 folosim regulile de calcul cu puteri, adica stim ca a^{n}\cdot b^{n}=\left(a\cdot b\right)^{n}

Astfeln A=\left(2\cdot 3\cdot 5\right)^{n}+\left(2\cdot 15\right)^{n}\cdot 14+\left(3\cdot 10\right)^{n}\cdot 2

Acum efectuam produsul in parantezele pe care le avem mai sus:

A=30^{n}\cdot 1+30^{n}\cdot 14+30^{n}\cdot 2

Acum daca dam factor comun numarul 30^{n}

Si obtinem: A=30^{n}\left(1+14+2\right)=30^{n}\cdot 17\vdots 17

Si obtinem ca este divizibila cu 17, deoarece cu ajutorul proprietatilor de la divizibilitate stim ca:

Daca b|a si m\in N, atunci b|m\cdot a (daca b divide a, atunci b divide orice multiplu al lui a)

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de factor comun, dar si proprietatile relatiei de divizibilitate.